Bonsoir à tous,
Je n'arrive pas à calculer le développement limité suivant (ordre 4 et en 0) :
1/(cos(x)-1)
En effet, je cherche à utiliser la formule 1/(1-u)=1+u+u²+...
Mais je n'arrive pas à faire apparaître un u tendant vers 0...
Merci de votre aide
Bonne soirée !
Normal que tu n'y arrive pas ^^
La limite en 0 est en effet infinie, cette fonction n'a donc pas de développement limité en 0
Par contre, on peut faire un développement asymptotique, en "retirant" le "terme qui diverge" :
cos(x) = 1 - x²/2 + x^4/4! - x^6/6! + o(x^6)
d'où 1/(cos(x)-1) = 1/(-x²/2 + x^4/4! -x^6/6! + o(x^6))
Et en mettant le -2/x² en facteur (c'est le terme qui diverge), on va pouvoir faire un DL du reste, et avoir à la fin une expression du type :
1/(cos(x)-1) = a/x² + b + cx² + dx^4 + o(x^4)
Mais attention, ça n'est pas un développement limité !
Merci pour ta rapide réponse.
Factoriser par -2/x² me permet effectivement de trouver la solution.
Cependant, dans les calculs, je me suis posé une question : le fait de factoriser par le terme divergent, nous donne qqch de la forme :
-2/x²*1/(1+bx²+cx^4+o(x^4))
Ce qui m’intéresse, c'est le "o(x^4)". On factorise par x² donc le o(x^6) devient un o(x^4). Ensuite on applique le DL usuel 1/(1+u), et on a la forme :
-2/x²*(a+bx²+cx^4+o(x^4)) = a'/x²+b'+c'x^2+o(x^2)
Il me semblait bizarre qu'à partir d'un o(x^6) au depart, on termine avec un o(x^2) à la fin, autrement dit qu'on perde 4 dégrées d'ordre au cours de la simplification ...
Est-ce pourtant juste ?
Merci d'avance
Oui, c'est juste, pour avoir un o(x^4), il faut donc partir d'un DL du cosinus à l'ordre 8 et non 6.
C'est effectivement un peu inhabituel, mais au final, on ne perd que 2 ordres : il y a 2 ordres de plus contenu dans le terme en 1/x²
D'accord, merci pour ton aide alors
