fonction réciproque....

[Isis-mirka]

Bonsoir, voila , j'ai des problemes avec ces deux exercices:
math122 scan.jpg
Ce que j'ai fais:
Scan122.jpg
merci pour votre aide
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[Isis-mirka]

A votre avis que dois-je faire ?

[Tiky]

Bonjour,

Que peux-tu dire de la borne inférieure de g sur [0, 1] si f n'admet pas de point fixe ? Raisonne par l'absurde !

[Isis-mirka]

je sais pas trop dsl...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Posons .

1) A quelle condition nécessaire et suffisante sur , admet un point fixe.
(Attention, il faut bien utiliser la continuité ici !).

Supposons par l'absurde que n'a pas de point fixe.
2) Montre qu'on a soit , soit .

3) En déduire qu'on a soit , soit .

4) Conclure à l'aide de 1) et 3).

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu peux appliquer le théorème de Bolzano à la fonction , ce qui te donne directement l'existence de .

[Tiky]

Une petit précision à laquelle je n'avais pas fait attention. A la question 2) et 3) de mon dernier post, tu peux montrer en fait qu'on a forcément f(x) > x et f(f(x)) > x.

[Isis-mirka]

bpnjour et merci pour ces réponses
Je ne peux pas plencher dessus tout de suite , il faut que j'aille en cours , je regarderai cela ce soir.
juste une question , qu'est-ce que le theoreme de bolzano ? (jamais entendu parlé de ça)

[PlaneteF]

juste une question , qu'est-ce que le theoreme de bolzano ? (jamais entendu parlé de ça)

Le théorème de Bolzano est juste un cas particilier du théorème des valeurs intermédaire (TVI pour les intimes ), dont tu as certainement déjà entendu parlé ... C'est d'ailleurs sous cette forme que le TVI est le plus employé. Ce théorème est donc le suivant :

Soit une fonction réelle continue sur

Si et sont de signe contraire, alors

[ericcc]

Le début du deuxième exo : g(0)=f(0) >= 0, g(1)=f(1)-1<=0 donc....

[Isis-mirka]

Bonsoir a tous et merci pour votre aide avant tout.
Si je résume ce que j'ai compris , je peux dire que:

[Isis-mirka]

cordialemant

[PlaneteF]

Pièce jointe 199831
cordialemant

Comme tu l'as écrit : et . Pour avoir le signe de et , il suffit tout simplement de remarquer que

Tu précises aussi que la fonction est continue sur , et ainsi toutes les conditions sont remplies pour appliquer le théorème de Bolzano à la fonction (et non pas à comme tu sembles vouloir le faire), ... ce qui te permet de démontrer immédiatement le résultat demandé.

[Isis-mirka]

D'accord, j'ai compris , je suis bien arrivé au résultat demandé grâce a votre aide , merci.
Pour la question suivante, sans la condition f([0;1))c[0;1] on ne peut pas conclure si f est comprise entre 0 et 1 (d'apres ce que j'ai compris)
Et sans l’hypothèse de continuité , qu'est ce que je peux dire ( a part que je ne peux pas appliquer le théorème de Bolzano) ?
A bientôt

[Isis-mirka]

mais que dire d'autre ?

[PlaneteF]

mais que dire d'autre ?

Sans l'hypothèse de continuité, il n'existe pas nécessairement de point fixe pour (il peut en exister, ... ou pas ).

[Isis-mirka]

parce que s'il y a continuité , il ya forcément un point fixe ?

[PlaneteF]

parce que s'il y a continuité , il ya forcément un point fixe ?

Non pas forcément, car il faut aussi la condition sur f([0 ;1]) donnée par l'énoncé.

[Isis-mirka]

donc sans la condition f([0;1])c[0;1],
il n'y a pas de point fixe obligatoirement .
ex si on avait eu f([0;1])c[-3;-2], il n'y a pas de point fixe
ex si on a f([2;4])c[4;5], il il y a un point fixe f(4)=4 si elle est continue en 4 , c'est bien ça ?

[PlaneteF]

ex si on avait eu f([0;1])c[-3;-2], il n'y a pas de point fixe

Attention, dans ce cas, il n'y a pas de point fixe nécessairement, ... mais il peut très bien il y en avoir un ou plusieurs !

ex si on a f([2;4])c[4;5], il il y a un point fixe f(4)=4 si elle est continue en 4 , c'est bien ça ?

Non pas du tout, je crois que là tu mélanges tout :

1) D'abord, 1^ère remarque, la fonction est définie sur [0 ;1] par sur [2 ; 4], ...

2) ... mais admettons, changeons l'énoncé, pourquoi pas, ... mais dans ce cas, tu vérifies facilement que g(2) et g(4) sont toujours positifs (strictement pour g(2)), et donc de même signe, et donc il n'y a pas nécessairement de point fixe ...

3) .. et à supposer que l'on soit dans les conditions où il existe au moins un point fixe , mais pourquoi diable serait-il = 4 ??? ... et la condition de continuité elle est sur tout l'intervalle, pas uniquement en 4 !!!

[Isis-mirka]

je crois que je mélanges tout aussi. Donc , qu'est ce je pourrait répondre a l'exercice ?
(ca m'aiderai à mieux m'y retrouver )
merci

[PlaneteF]

je crois que je mélanges tout aussi. Donc , qu'est ce je pourrait répondre a l'exercice ?
(ca m'aiderai à mieux m'y retrouver )
merci

Je viens de comprendre pourquoi tu prenais comme point fixe dans ton exemple --> Là où tu as raison, c'est que dans ce cas, si admet un point fixe, cela ne peut-être que , et je pense que là était l'idée de ton exemple ... Sauf que le problème c'est que ce point fixe n'existe pas nécessairement, et ceci pour la raison que j'ai indiqué !

[Isis-mirka]

et donc...?

[PlaneteF]

et donc...?

Ben ce que je t'ai indiqué dans le message#16.

[Isis-mirka]

ok d'accord. je crois que sa va aller , mais si j'ai un souci , je vous recontacte , merci et bonne soirée