encadrement de la fonction cosinus

[invited6c27078]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice... (facultatif, mais bon, je veux quand même le faire.)
f est la fonction définie sur [0;+l'infini[ par f(x)=x-sin(x)
a) Démontrer que f est croissante sur [0;+l'infini[
b) Calculer f(0) et démontrer que pour tout réel x>=0,
sin(x)<=x


Pour la a) j'ai pens&#233; &#224; faire:
f(x)=x-sin(x)
d'o&#249; f'(x)= 1- cos(x)
Ainsi, je fais un tableau de variation. (si f'(x)>0, alors f(x) est croissante.)
Cependant, je ne sais pas comment d&#233;montrer que cos(x) est compris entre [-1 ; 1] ou entre [0 ; 1]

Pour la b) f(0)=0-sin(0)=0
COmment d&#233;montrer la suite?
Merci d'avance.
a+
PS: 1ereS
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[erik]

je ne sais pas comment d&#233;montrer que cos(x) est compris entre [-1 ; 1]

A mon avis tu n'as pas besoin de red&#233;montrer cela, tu peux consid&#233;rer comme connu que cos(x) est compris entre [-1 ; 1]

Pour la question b/ tu as f(0)=0 et grace &#224; la question a/ tu sais que f est croissante pour x>0, tu devrais pouvoir en d&#233;duire le signe de f(x) sur [0,+inf[

[invited6c27078]

Une question encore:
i est la fonction definie sur [0;+l'infini[ par
i(x)=1 - x²/2 + x⁴/24 - cos(x)
Etudier les variations de i sur [0;+l'infini[

Or on a demontre que 1 - x²/2 - cos(x) etait decroissante sur [0;+l'infini[
Or x⁴/24 est toujours croissante sur [0;+l'infini[ donc, on a: une fonction decroissante + une fonction croissante, donc une fonction derivee positive + une negative, donc la fonction i'(x) est négative, d'où i(x) est decroissante.

Cependant, sur ma calculatrice, je vois: entre [0 ; 0.] la fonction i(x) est decroissante, et entre [0. ; 10] elle est croissante....

Quelqu'un peut il m'aider... merci d'avance
a+

[invited6c27078]

personne ne sait???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ab9121c]

Manier la calculatrice avec des pincettes ...

[invited6c27078]

Merci, mais cela ne m'aide pas trop....
si quelqu un peut m aider....

[invited5b2473a]

Une question encore:
i est la fonction definie sur [0;+l'infini[ par
i(x)=1 - x²/2 + x⁴/24 - cos(x)
Etudier les variations de i sur [0;+l'infini[

Or on a demontre que 1 - x²/2 - cos(x) etait decroissante sur [0;+l'infini[
Or x⁴/24 est toujours croissante sur [0;+l'infini[ donc, on a: une fonction decroissante + une fonction croissante, donc une fonction derivee positive + une negative, donc la fonction i'(x) est négative, d'où i(x) est decroissante.

Cependant, sur ma calculatrice, je vois: entre [0 ; 0.] la fonction i(x) est decroissante, et entre [0. ; 10] elle est croissante....

Quelqu'un peut il m'aider... merci d'avance
a+

-1 + 2 = 1>0 ton raisonnement est FAUX:
x->e^x -x est une fonction croissante sur mais est la somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante.

[invited6c27078]

Merci, je vois ce que tu veux dire, mais je ne vois pas comment démontrer ca pour ma fonction, désolé...
Si qq1 peut m'aider...
Merci d'avance

[invitec314d025]

Pour étudier la dérivée d'une fonction, il suffit de la traiter comme une fonction normale, donc calculer la dérivée de la dérivée (dérivée seconde) par exemple. En remarquant que la dérivée s'annule en zéro, ...

[invited6c27078]

Est il possible de dire que comme une fonction f(x) est croissante, si la fonction dérivée g'(x) (d'une autre fonction g) est la meme que f(x) [meme equation], alors g est croissante????
Merci d'avance...
a+

[invitebb921944]

Est il possible de dire que comme une fonction f(x) est croissante, si la fonction d&#233;riv&#233;e g'(x) (d'une autre fonction g) est la meme que f(x) [meme equation], alors g est croissante????

est la m&#234;me que f'(x) ou f(x) ?
Si t'as f croissante et g'(x)=f'(x), alors g est croissante.
Cependant, il faut faire attention aux intervalles de continuit&#233; qui ne sont peut-&#234;tre pas les m&#234;mes pour les deux fonctions !

[invited6c27078]

mais si f(x)=g'(x)... si f est croissante, que peut on dire de g'(x)?
Merci d'avance
a+

[erik]

si f(x)=g'(x), c'est le signe de f qui va &#234;tre interressant.
Si, par exemple, tu sais que f est croissante et que le minimum de f(x) est 0, tu peux en d&#233;duire que f(x)>0, donc evidemment g'(x)>0 et enfin que g est croissante.

Autre exemple : si f est croissante et que le maximum de f(x) est 0, cela signifie que f(x)<0 donc g'(x)<0 et enfin g est d&#233;croissante.

[invited6c27078]

Et pour determiner la variation de f(x), est ce que l'on peut faire ca??:
f(x)=1 - x²/2 + x⁴/24 -cos(x)
f'(x)= x + x³/6 + sin(x)
f''(x)= 1 +x²/2 + cos(x) (derivee de f'(x))
f'''(x)= x- sin(x) (derivee de f''(x))
f''''(x)= 1 - cos(x) (derivee de f'''(x))
f'''''(x)= sin(x) (derivee de f''''(x))
Donc sur [0;+ l'infini[ avec x>=0, sin(x)>=0 donc f(x) est croissante sur [0;+ l'infini[ pour tout x >=0

Merci d'avance
a+

[invited5b2473a]

combien ça fait ???????????????

[erik]

Tu peux t'arreter &#224; la ligne :
f'''(x)= x- sin(x)
Quel est le signe de f'''(x) (d'apr&#232;s ton premier message tu connais ce signe) ?
Que peux tu en d&#233;duire pour f'(x) (croissante ou d&#233;croissante) ?

[invitec314d025]

Tu peux t'arreter à la ligne :
f'''(x)= x- sin(x)

même à celle d'avant. f'' est clairement positive.

[erik]

même à celle d'avant. f'' est clairement positive.

Oui, c'était juste pour faire le lien avec la question du premier message. Et pour faire comprendre que (dans certain cas) il pouvait être utile de "descendre plus bas" que f' pour connaitre les variations d'une fonction f .