Petites questions (convergence)

[invite204ee98d]

Bonsoir,

Je voudrais savoir quelle est la différence entre la convergence uniforme et la convergence simple sans se ramener à la définition, je ne vois pas trop leur différence.

Ensuite, j'aimerais savoir pourquoi pour prouver la convergence uniforme on se ramene à regarder si Sup| fn(x)-f(x)| quand n tend vers l infini donne 0 (pourquoi la borne sup), peut etre parce que par définition la borne sup est la norme ????

Merci, au revoir.
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[inviteea028771]

L'idée générale est que la convergence uniforme est "globale", contrairement à la convergence simple qui est "locale"

Et oui, dans le cas de la convergence uniforme, la norme c'est le sup de la valeur absolue :




L'exemple classique, pour bien voir la différence entre ces deux types de convergences, c'est la suite de fonction sur

La suite de fonction converge simplement vers la fonction




Par contre, quelque soit n, , ne converge donc pas uniformément vers

[invite204ee98d]

Pourquoi a t-on |f-fn|=1 alors que sur [0,1[ on aura 0-x^n avec n qui tend vers l infini et x inférieur à 1 soit ca fait 0 et quand x vaut 1 ca fait 1-1=0 également si on prend la fonction f(x) qu'on a défini pour la convergence simple

[invite204ee98d]

Malgré tout je ne vois pas pourquoi la norme de différence entre f et fn correspond à la norme, y a t il une démonstration ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Je passe sur ton dernier message qui pris à la lettre demande pourquoi la norme "correspond à la norme". Tu as dû vouloir dire autre chose.

"Pourquoi a t-on |f-fn|=1 " Non, on a , d'ailleurs, une valeur absolue s'applique à des réels ou des complexes (module), pas à des fonctions.
Tu peux répondre toi-même à ta question, en appliquant la définition donnée par Tryss de la norme infinie. Donc en calculant le sup de |0-xⁿ| sur [0;1[ (j'ai exclu le cas x=1, car en 1 la différence est nulle, donc ce n'est pas le sup).
"avec n qui tend vers l infini " ??? Tu rigoles ! n est un entier. Que dans certaines circonstances on le fasse tendre vers l'infini n'interdit pas de regarder combien vaut pour chacune des valeurs de n. L'ordre des réflexions est très important.

Bon, revenons à ta question initiale : Si tu ne regardes pas les définitions, tu passes à côté de l'idée principale : Dans la convergence simple, on regarde pour chaque x séparément. Dans la convergence uniforme, on veut que toute la fonction f_n soit suffisamment proche de f. Proche au sens de la valeur absolue de la différence entre les valeurs.
Tryss t'a traduit ça en imposant que le maximum de ces valeurs soit aussi petit que l'on veut, donc tende vers 0. C'était peut-être un peu tôt pour toi de parler de norme (généralisation de la notion de norme d'un vecteur).

Cordialement.

[gg0]

A noter :

"...sans se ramener à la définition, je ne vois pas trop leur différence."
C'est justement ce qu'il faut bien regarder. Là aussi, c'est une question d'ordre (dans la phrase).

Si on est poli, on dit "Je frappe, puis j'entre"
Si on veut cogner, on dit : "J'entre, puis je frappe"
Le frère de mon père est rarement le père de mon frère.

[invite204ee98d]

oui je voulais dire correspond à sup |fn-f|

[invite204ee98d]

Et aussi je ne vois toujours pas pourquoi || fn-f ||inf =1 alors que x appartient a [0,1[ parce que si on dit que c'est 1 alors lim qd n tend vers l infini ca donne 1 donc il y a convergence uniforme mais si c'est 1- alors on aura (1-)^n=0 et il y a convergence uniforme, peut etre ai je mal compris votre message précédent

[gg0]

Bonsoir.

je ne vois toujours pas pourquoi || fn-f ||inf =1

Trace la courbe de f_n-f. C'est à la portée d'un élève de première !

parce que si on dit que c'est 1 alors lim qd n tend vers l infini ca donne 1 donc il y a convergence uniforme

d'où tu sors ça ? ne racontes pas n'importe quoi !

peut etre ai je mal compris votre message précédent

Oui, et peut-être as-tu peu étudié ton cours et peut-être as-tu attendu qu'on t'explique plutôt que de chercher à comprendre seul.

En tout cas, si tu veux comprendre, il va falloir étudier sérieusement tes cours.

Cordialement.

NB : tant que tu crois que la compréhension viendra des autres, tu seras perdu. La compréhension, c'est dans sa propre tête qu'elle se fait.

[invite204ee98d]

Oui pardon a chaque fois j ecris trop vite je voulais dire que si la lim qd n tend vers l infini fait 1 y'a pas cv uniforme.

[invite204ee98d]

Mon cours je le connais à peu près mais le soucis n'est pas la, c'est juste que je n'arrive pas à comprendre en quoi s'intéresser au sup de la différence entre deux fonctions peut prouver une convergence, je pense qu'il me faudrait voir la preuve que || fn-f ||=sup | fn-f| ( ceci n'est pas prouvé dans mon cours)

[gg0]

Bonjour.

je pense qu'il me faudrait voir la preuve que || fn-f ||=sup | fn-f| ( ceci n'est pas prouvé dans mon cours)

Tu ne risques pas d'avoir cette preuve. C'est faux si ce n'est pas la norme infinie, et c'est la définition de la norme infinie. On ne démontre pas une définition !!

Quant à la raison pour laquelle prouve que la suite des converge vers , elle est quasi évidente : Si on a cette hypothèse (1), quel que soit , il existe un N tel que :

donc

Ce qui prouve la convergence uniforme. Tu as reconnu la définition, puisque tu connais ton cours.

Je n'ai fait que traduire en formules l'idée que si le sup tend vers 0, alors les différences tendent toutes vers 0 aussi vite (ou plus vite). Qui est l'idée de la convergence uniforme.

Cordialement.