Problème sur un Système

[invite7d53f699]

Bonsoir à tous !

Comme dit dans le titre, je n'arrive pas a résoudre un système !

Le système est d'inconnues x et y, et l'on sait, a et a' appartenant a R

Ch(x) + Ch(y) = a Ch(a')
Sh(x) + Sh(y) = a Sh(a')


Merci de votre aide !
Bonne soirée !
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[gg0]

Bonjour.

En élevant au carré les deux équations et soustrayant, ça donne le moyen de calculer Ch(x-y) donc x-y. A moins que ce soit Ch(x+y), je n'ai plus les formules d'addition en tête.

Cordialement.

[invite7d53f699]

Je ne l'ai pas préciser, mais j'avais en effet fais ceci, mais je bloquais après. ( ça ne fais que me conforter dans mon raisonnement, Merci)

On trouve, Ch(x-y) = ( a² / 2 ) -1

Mais je ne vois pas comment continuer et trouver x et y.

Cordialement

[ericcc]

Une méthode directe et rapide : pose X=exp(x), Y=exp(y), par addition et soustraction tu arrives à des formules qui te donnent X+Y et XY, tu va arriver à du second degré.

Autre méthode : passer par les transformations de somme en produit : http://www.trigofacile.com/maths/tri...perbolique.htm

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Effectivement avec la transformation de somme en produit ça se fait très bien. Je trouve x+y=2a' et x-y=+/- 2argch(a/2) si je ne me suis pas trompé

[invite7d53f699]

En transformant les somme en produit, on obtiens bien :

2ch(x+y/2)ch(x-y) = a Ch a'
2sh(x+y/2)ch(x-y) = a Sh a'

Après avoir fais le quotient des 2 on a bien :

Ch(x+y/2) / Sh(x+y/2) = Ch a' / Sh a' ?

[invite7d53f699]

En transformant les somme en produit, on obtiens bien :

2ch(x+y/2)ch(x-y/2) = a Ch a'
2sh(x+y/2)ch(x-y/2) = a Sh a'

Après avoir fais le quotient des 2 on a bien :

Ch(x+y/2) / Sh(x+y/2) = Ch a' / Sh a' ?

Petite Erreur de frappe.

[ericcc]

Indice :la fonction tangente hyperbolique est une bijection

[invite7d53f699]

On a donc Th(x+y/2) = th a' et finalement x+y = 2a' ?


Comment faire pour l'autre équation ?

Parce qu'on a exp(x) + exp(y) = a exp(a') ? mais cela ne m'inspire pas ...

[ericcc]

Ben....je réinjecte la valeur de x+y/2 dans la première équation obtenue en transformant la somme en produit par exemple...

[invite7d53f699]

Ce qui équivaut a Chx+Chy=a ch(x+y/2) <=> 2Ch(x+y/2)ch(x-y/2) = a ch(x+y/2) <=> 2Ch(x-y/2) = a <=> ... <=> x-y = 2argch(a/2)

On a finalement x+y = 2a' et x-y = 2argch(a/2)

Ainsi 2x = 2a' + 2argch(a/2) et x = a' + argch(a/2)

y = 2a' - x = 2a' - a' - 2argch(a/2) = a' - 2argch(a/2)

On a donc (x,y) = (a' + argch(a/2) ; a' - 2argch(a/2) ) ??

[ericcc]

Une petite erreur de calcul dans la valeur de y, mais surtout tu oublies que le ch n'est pas une bijection....

[invite7d53f699]

erreur de calcul ?


Qu'est ce que ca change ? Le signe ?

[invite7d53f699]

on a : x = a' + argch(a/2)

et x+y = 2a' donc y = 2a'-x ce qui équivaut a a' - argch(a/2)


ainsi (x,y) = ( a'+argch(a/2) ; a' - argch(a/2) ) ??

[gg0]

L'erreur est avant. relis Ericc.

[invite7d53f699]

C'est bon, j'ai bien trouver.

Merci à tous les deux pour votre aide !
Bonne continuation.