Bonjour, je rencontre beaucoup de contradictions en utilisant une simple définition, j'aimerais savoir où je fais l'erreur ( je sais qu'il y en a une, voire surement plusieures, il serait donc inutile de me le dire sans me préciser où elles sont)
D'après la définition :
<<Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0. On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 si l'on peut écrire pour tout x : f(x)=a0+a1*x+a2*x²+...+an*x^n+ o(x^n)>>
source : mon bouquin de maths
Alors déjà, d'entrée, je vois des incohérences :
"si l'on peut écrire pour tout x" --> c'est pas plutôt pour tout x dans un voisinage de 0 ? Bon ok c'est peut-être évident, mais pas pour un nouveau comme moi
mais ce qui me choque le plus, c'est le polynôme a0+a1*x+a2*x²+...+an*x^n ou "partie régulière" du d.l. si j'ai bien compris. A aucun endroit dans la définition ils précisent que a0=f(0), a1=xf'(0), etc... (formule de Taylor Young).
J'en déduis donc, que la formule de taylor est juste une alternative qui marche que lorsque la fonction est dérivable et que il existe différents moyens d'exprimer ce polynôme... (même si je sais que c'est faux d'après l'unicité du dl... donc déjà il y a une contradiction dans cette définition
Exemple : la fonction sinus
d'après la formule de T.Y. on a sin(x)=x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)+... +o(x^n) pour x voisin de 0 ( et c'est logique, lim x->0 du polynome = 0 = sin(0)
OR d'après la définition, sin(x)=a0+a1*x+a2*x²+...+an*x^ n+o(x^n)
soit a0=0, a1=0, a2=0, an=0....
On a ainsi sin(x)=0+0x+0x²+.....+o(x^n) et lim x->0 =0 = sin(0)
(remarque: j'aurais pu prendre a1 , a2 ... an =/=0 , la limite serait quand même égale à zéro...)
conclusion : j'obtiens deux développements limités différents (dont le deuxième qui est faux , je le sais) en suivant à la lettre la définition. (c'est vrai, à quel moment j'ai triché ? )
donc la définition de mon livre est bidon ? ( enfin du moins il manque des trucs quoi... )
Autre exemple : la fonction racine carré, non dérivable en 0 (mais si l'on en croit la définition du dl à l'ordre n, il n'est jamais question de dérivabilité, donc je ne devrais pas m'en soucier... même si je sais que c'est à cause de ça qu'elle n'a pas de dl)
En effet, si on suit la formule de TY, on ne peut pas obtenir de dl car on a pas f'(0) qui n'est pas définie... mais si on suit la définition que j'ai citée plus haut
on a racine de 0=0
est-ce que ça peut s'exprimer sous la forme d'un polynome pour x voisin de 0 ? ben oui... ( je me trompe ? soit le polynome avec coefs choisis au hasard 0+5x+74x²+454897x^3+...+o(x^n) , la limite de ce truc quand x tend vers 0 est 0, donc racine de x peut s'exprimer de cette façon là pour x suffisamment voisin de 0........ donc contradiction encore, tout en suivant à la lettre la définition...)
Je pose cette question parce que la fonction x->x^3*sin(1/x) si x=/=0, x->0 si x=0, qui n'est pas C2 (la flemme de le prouver ici, ça serait trop long, il faudra me croire sur parole), apparemment admet un développement limité d'ordre 2 en 0!!!
Or je ne peux pas l'obtenir à partir de la définition de Taylor Young car la dérivée seconde de cette fonction n'est pas définie en 0. ( et n'a pas de limite en 0 non plus... )
Je sais que pour avoir un développement limité d'ordre 0 il faut que la fonction soit C0
je sais que pour avoir un développement limité d'ordre 1 il faut que la fonction soit C1
mais rien n'est dit pour l'ordre 2... alors si je réfléchis, je me dis :
si la fonction n'est pas C0, on a pas f(0) donc on ne peut pas faire le dl en suivant la formule de T.Y (logique...) -> pas de dl
si la fonction n'est pas c1, on a pas f'(0) donc on ne peut pas faire le dl en suivant la formule de T.Y -> pas de dl1
si j'extrapole, intuitivement, si la fonction n'est pas C2 alors j'ai pas la dérivée seconde en 0 donc la formule de T.Y ne peut pas être appliquée...
donc si cette fonction admet vraiment un dl d'ordre 2 et que j'ai pas de dérivée seconde, je fais comment pour faire le dl ?
( et puis même, en général, comment je fais pour obtenir un dl sans appliquer la formule de T.Y ? )
bref, j'espère que certains auront eu le courage de lire jusqu'à la fin. Comme d'habitude, je sais plein de trucs car je connais mon cours, mais alors rien, rien ne marche même si on applique le cours de façon rigoureuse si on tombe sur des cas "particuliers" (et encore, c'est un bien grand mot, vu la fonction racine incompatible avec la définition, qui est pourtant très courante........)
j'aimerais, plutôt qu'on me dise que j'ai tort et qu'on me copie-colle un autre cours, qu'on m'explique exactement où je fais une erreur de logique. (parce que sinon j'apprendrai mon cours par coeur me poser de question)
Merci d'avance pour vos réponses, je vous offre en retour ma gratitude éternelle....
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Envoyé par ansset 
a bien un Dl en 0, d'ordre 0 :