Montrer que E=F+G

[mtjalu]

Soit E l'ensemble des applications de R dans R, F={f appartient à E : f(0)=0} et GcE l'ensemble des fonctions constantes.
Montrer que E=F+G et que F et G sont en somme directe.

Pour montre que E=F+G, on montre que E inclus dans (F+G) et (F+G) inclus dans E ??
Apres pour la somme directe, on montre que FnG={0_E} ??

Merci de m'aider
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[PlaneteF]

Pour montre que E=F+G, on montre que E inclus dans (F+G) et (F+G) inclus dans E ??
Apres pour la somme directe, on montre que FnG={0_E} ??

Oui, tu peux y aller ... ce qui pour le 1^er point revient tout simplement à démontrer que tout élément de E peut s'écrire comme la somme d'un élément de F et d'un élément de G.

[Médiat]

Bonjour,

Vous pouvez aussi montrer que toute fonction de IR dans IR peut s'écrire de façon unique comme la somme d'une fonction qui s'annule en 0 et d'une fonction constante (c'est trivial en plus).

[mtjalu]

D'accord, j'ai une idée.

Si on pose h appartient à E.
f appartient à F, f : x -> h(x) - h(0)
g appartient à G, g : x -> h(0)
Donc on a h : x -> h(x) = f(x) + g(x) <=> h=f+g.
Donc tout élément de E : h, s'écrit comme la somme d'un élément de F : f, et d'un élément de G : g. On a E=F+G.

Si h appartient à FnG :
Alors, h(0) = 0 car h appartient à F
Et donc h(x) = h(0) = 0 car h appartient à G.
Donc h(x) = teta(x) = 0.
On a FnG = {teta} donc F et G sont en somme directe, ils sont supplémentaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bravo ! Bravo !

[taladris]

Pour montre que E=F+G, on montre que (...) (F+G) inclus dans E ??

Salut,

note que si F et G sont des sous-ensembles de E, alors F+G est automatiquement inclus dans E (puisque l'addition des vecteurs est une opération interne sur E).

Cordialement

[mtjalu]

d'accord merci beaucoup