Soit E l'ensemble des applications de R dans R, F={f appartient à E : f(0)=0} et GcE l'ensemble des fonctions constantes.
Montrer que E=F+G et que F et G sont en somme directe.
Pour montre que E=F+G, on montre que E inclus dans (F+G) et (F+G) inclus dans E ??
Apres pour la somme directe, on montre que FnG={0E} ??
Merci de m'aider
Oui, tu peux y aller ... ce qui pour le 1er point revient tout simplement à démontrer que tout élément de E peut s'écrire comme la somme d'un élément de F et d'un élément de G.Envoyé par mtjalu
Dernière modification par PlaneteF ; 17/11/2012 à 14h59.
Bonjour,
Vous pouvez aussi montrer que toute fonction de IR dans IR peut s'écrire de façon unique comme la somme d'une fonction qui s'annule en 0 et d'une fonction constante (c'est trivial en plus).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
D'accord, j'ai une idée.
Si on pose h appartient à E.
f appartient à F, f : x -> h(x) - h(0)
g appartient à G, g : x -> h(0)
Donc on a h : x -> h(x) = f(x) + g(x) <=> h=f+g.
Donc tout élément de E : h, s'écrit comme la somme d'un élément de F : f, et d'un élément de G : g. On a E=F+G.
Si h appartient à FnG :
Alors, h(0) = 0 car h appartient à F
Et donc h(x) = h(0) = 0 car h appartient à G.
Donc h(x) = teta(x) = 0.
On a FnG = {teta} donc F et G sont en somme directe, ils sont supplémentaires.
Bravo ! Bravo !
Salut,
note que si F et G sont des sous-ensembles de E, alors F+G est automatiquement inclus dans E (puisque l'addition des vecteurs est une opération interne sur E).
Cordialement
d'accord merci beaucoup
