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polynome



  1. #1
    yonyon

    polynome


    ------

    Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant:
    1) Montrer qu'il existe une unique suite (Pn)n de polynômes, à coefficients réels telle que: et pour tout n de N, et deg Pn=n
    Cette question là, c'est bon
    2) Montrer que pour tout (n,x) de NxR, cos(nx)=Pn(cos x). En déduire une expression explicite de Pn(X).
    c'est là que je bloque, je souhaite démontrer ça par récurence sur n:
    pour n=0 et n=1, c'est vrai
    on suppose que c'est vrai pour un certain n et on calcule cos((n+2)x)=cos(nx+2x)=cos nx cos 2x - sin nx sin 2x=Pn(cos x)(cos x)-sinx sin 2x mais je n'arrive pas à trouver .
    Pour l'expression explicite de Pn, je ne vois aps trop comment faire
    3) Déterminer les racines des polynômes Pn.
    Tant que je n'ai pas Pn , je ne peux pas le faire...
    Merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. #2
    invité576543
    Invité

    Re : polynome

    Citation Envoyé par yonyon
    on suppose que c'est vrai pour un certain n et on calcule cos((n+2)x)=cos(nx+2x)=cos nx cos 2x - sin nx sin 2x=Pn(cos x)(cos x)-sinx sin 2x
    La récurrence fait intervenir un terme en n+1 et un terme en n. Réfléchis au terme en n+1...

  3. #3
    Cyp

    Re : polynome

    Il s'agirait pas des polynômes de Tchebytchev ?

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