[PCSI] Résolution d'une équation complexe

[invite0edf6cdf]

Bonsoir ! J'ai un problème à résoudre.

j'ai démontré plusieurs choses :

- z solution de (E) <=> |z-i|=|z+i|
avec (E) : (E).gif

- tan (blabla).gif

- exp2ialpha.gif

- z solution de (E) <=> z est un réel.



Voilà, je dois résoudre (E) maintenant.
Et je sais pas trop comment m'y prendre.
Vu que je sais que certains d'entre vous aiment se creuser la tête ou tout simplement aider, je vous prie de m'indiquer le chemin. Merci.
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[gg0]

Ben...

tu as déjà resolu E !!!

[invite0edf6cdf]

Je suis confuse.
Comment ça ?

[gg0]

Tu l'as écrit : "z solution de (E) <=> z est un réel. "

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0edf6cdf]

Oui, mais quelles sont toutes les solutions de (E) réelles ?
Je ne vois vraiment pas.

[breukin]

Soit votre assertion "z solution de (E) <=> z est un réel" est vraie, et alors il n'y a rien de plus à dire, tous les nombres réels sont solution de (E), et seulement eux (pas de solution non réelle).
Soit elle est fausse, et peut-être que seuls certains réels (voire des non réels) sont solution.

A votre avis, elle est vraie ou fausse ?

[gg0]

Maou,

relis ce que tu as écrit : Tu as répondu à ta question !!!

Cordialement.

[invite0edf6cdf]

En fait, l'erreur vient de moi.

Ce que j'ai démontré c'est que les solutions de E sont réelles. Rien de plus.

[breukin]

Ah !
Bien, maintenant, quelles sont les solutions de ?

Après, il suffira de résoudre ... ce qui est une équation du premier degré...

En fait, il n'y avait pas lieu de prédéterminer que les solutions étaient réelles, c'est la résolution qui le montre.

[invite0edf6cdf]

Pour la première équation, les solutions sont Z = exp(i(2a+2kpi)/n), avec k allant de 0 à n-1.

correct ?


Après, je ne sais comment faire.

[breukin]

Vous ne savez pas résoudre une équation du premier degré ?

Car n'est rien d'autre qu'une équation du premier degré en !

[invite0edf6cdf]

Je trouve Z =


Désolée, première utilisation de LaTex un peu foireuse.

[breukin]

Ecrivez d'abord en fonction de . D'où sort ce ?

J'ai l'impression que c'est de la bouille pour chat, dans votre cerveau, là...

[invite0edf6cdf]

Je ne comprends vraiment rien là. C'est déprimant.

J'avais juste posé z= exp(itheta)

edit : et je ne vois pas comment exprimer z en fonction de Z.

[invite0edf6cdf]

Je dois résoudre ça, il me semble. Mais je ne sais pas le faire. Les maths sont vraiment ma bête noire.
Merci.


edit : ah bah non, c'est encore faux, en plus...
Vraiment, ça fait plus d'une 1 heure que je suis dessus. u_u

[breukin]

Vous ne voyez pas que est une équation du premier degré en , équivalente à un , où et vont s'exprimer en fonction de ? (j'ai rajouté l'indice pour montrer qu'on a cas possibles, équations)
donc

Ne mélangez pas z et Z_k ! Vous n'avez pas à poser (c'est que vous voulez trouver, ne le faites pas disparaître dans d'autres variables !), en revanche, vous pouvez ensuite poser pour simplifier.

[invite0edf6cdf]

Ah mais oui !!

On z = (Zk - 1 )/ (i*(Zk+1))

On remplace Zk par ce qu'on a trouvé juste avant. en notant Thetak pour simplifier !
J'essaye ça mais je pense avoir compris.

Merci.

[breukin]

Et d'une manière générale n'est qu'une simple équation du premier degré en !

[breukin]

Et en faisant apparaître l'angle moitié pour mettre en évidence des lignes trigonométriques.

[invite0edf6cdf]

en fait, dans ma tête Zk était une variable, et j'arrivais pas à me dire qu'on pouvait l'utiliser pour exprimer z. Je ne sais vraiment pas pourquoi j'ai pensé cela...

Je ne comprends pas... l'angle moitié, qu'est-ce ?

J'arrive à z = tan (Thetak / 2)
(d'après ce que j'ai démontré au début)

[invite0edf6cdf]

donc z = tan ( (alpha + k Pi) / n ) , avec k variant de 0 à n-1 est l'ensemble des solutions de (E). Vrai ?

[breukin]

Je ne comprends pas... l'angle moitié, qu'est-ce ?

L'angle moitié, c'est la moitié de l'angle, c'est du français...
Vous avez bien vu que pour obtenir une réponse simple, vous avez dû diviser l'angle par deux ?

Je ne sais vraiment pas pourquoi j'ai pensé cela

Il faudrait que vous méditiez pourquoi vous avez perdu le fil de ce que vous recherchiez, puisqu'en fait, depuis le début, vous aviez résolu le problème sans comprendre que vous le résolviez (voir les remarques de gg0).

Car ça tient en peu de lignes :

(1)
(2)
(3)

(le ne servant qu'à soulager l'écriture, surtout si on détaille le passage de 2 à 3)

[invite0edf6cdf]

Oui, je me doutais qu'il s'agissait le moitié d'un angle...
Mais je n'avais rien remarqué du tout, puisque je m'étais contentée de répondre à la question du sujet. Donc, je n'ai pas fait la démarche de diviser l'angle par deux. Je veux dire, on me l'a imposé ! ^^


Il est vrai que finalement, c'est plutôt simple. Je ne suis vraiment pas à l'aise avec les maths. C'est assez handicapant, je dois dire. Je me dis qu'à force d'exercices... ça devrait s'arranger.


En toute cas, merci encore pour votre précieuse aide.