Equation différentielle PCSI : f"(x)+f(-x)=x+cos(x)

[invite6e1184ee]

Bonsoir,
le problème est dans le titre : il s'agit de déterminer les fonctions deux fois dérivables sur telles que

f"(x)+f(-x)=x+cos(x) (1)

Alors pour ça j'ai posé la fonction u=f(x)+f(-x) et v=f(x)-f(-x)
Puis j'ai calculé u" et v" et en posant X=-x j'ai remplacé (1)par

f"(-x)+f(-x)=-x+cos(x) (2)

j'ai ensuite fait (1)+(2) -> u"(x)+ u(x)= 2cos(x)
mais cette équation n'a pas de solution alors je me suis dis que mon changement de variable devait comporter une erreur de signe mais même en changeant (2) je ne trouve rien de satisfaisant qui me permettrait de trouver u et v pour enfin trouver f.

Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?
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[invite63e767fa]

Tes changements u=f(x)+f(-x) et v=f(x)-f(-x) sont bons. C'est en effet ce qu'il faut faire.
Ensuite, u"(x)+ u(x)= 2cos(x) est bon. Contrairement à ce que tu crois, cette équation différentielle a des solutions. A toi de la résoudre.

[invite63e767fa]

Je viens de voir que quelqu'un a été plus cool que moi : il t'a donné les solutions "toutes cuites" de l'équation différentielle en u(x):
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-522826.html
Maintenant, tu vas trouver la seconde équation différentielle en v(x) de façon similaire à ce que tu as fais pour trouver la première équation en u(x).

[invite6e1184ee]

Bonjour,
merci d'avoir répondu si rapidement à ma question.
En fait j'avais trouvé les solutions de l'équation homogène mais je n'arrivais pas à trouver une solution particulière, d'abord en la cherchant sous la forme acos(x)+bsin(x) mais la dérivée seconde s'annulait avec la fonction. Puis j'avais essayé de résoudre u"(x)+u(x)=2exp(ix) pour ensuite prendre la partie réelle de la solution trouvée. Mon problème était que je ne trouvais qu'une condition sur a (a=-i) avec u0 sous la forme (ax+b)exp(ix). En prenant la partie réelle j'avais bien la formule donnée par l'internaute de l'autre forum. C'est lors de la vérification des solutions trouvées que j'ai dû me tromper dans ce cas.
Concernant v, l'équation v"(x)-v(x)=2x ne m'avait pas posé de problème.
Au final, j'ai f =(u+v)/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6e1184ee]

c'est à dire f(x)=1/2(Aexp(x)+Bexp(-x)-2x+Ccos(x)+Dsin(x)+xsin(x)) avec A,B,C,D parcourant R

[invite63e767fa]

OK, mais si cela te donne une infinité de solutions et non pas une solution unique. Et si tu reportes ta famille de fonctions f(x) dans l'équation intégrale, elle n'est pas satisfaite (sauf si...)

[invite6e1184ee]

j'ai f(-x)=1/2(Aexp(-x)+Bexp(x)+2x+Ccos(x)-Dsin(x)+xsin(x))

et d'autre part, f(x)=1/2(Aexp(x)+Bexp(-x)-2x+Ccos(x)+Dsin(x)+xsin(x))

donc, f'(x)=1/2(Aexp(x)-Bexp(-x)-2-Csin(x)+Dcos(x)+sin(x)+xcos(x) )

donc, f''(x)=1/2(Aexp(x)+Bexp(-x)-Ccos(x)-Dsin(x)-cos(x)+cos(x)-xsin(x))

Finalement f"(x)+f(-x)= 1/2( (A+B)(exp(x)+exp(-x))+2x-2Dsin(x) )
sauf erreur de calcul
et là je dirais qu'il faut A+B=0 mais pour D... je ne vois pas comment obtenir cos(x) à partir de -Dsin(x) à part en posant D=-1 et x=x+Pi/2 mais je ne peux
pas.
Un dernier coup de pouce peut-être ?

[invite63e767fa]

En fait, mes réponses précédentes sont innadaptées. En effet, par un curieux hasard, je répondais en même temps à une question sur une équation intégrale qui se réduisait à une équation différentielle ressemblant à la tienne, mais un peu différente. J'ai fais un joyeux mélange entre ces deux différents problèmes. L'unicité de solution valait pour l'autre problème, pas pour le tien.
Revenons donc à ta vérification. Il y a une erreur de signe dans f ''(x). c'est pour cela que cos(x) est éliminé alors qu'il ne le devrait pas.
Ensuite, il est aisé de voir que les conditions de validité sonr A+B=0 et D=0
Remarque : cela aurait été un peu plus simple avec ch(x) et sh(x) au lieu de exp(x) et exp(-x). Mais peu importe, à la fin on a :
f(x) = a sh(x) +c cos(x) +x sin(x)/2 - x

[invite6e1184ee]

Ah oui bien sûr la dérivée de sin c'est cos !
Au final, je retrouve bien votre solution générale.
Encore merci de m'avoir éclairci sur le sujet car je dois que ça m'énervait de ne pas trouver alors que le plus dur était de poser u et v, le reste n'étant que du pur calcul.
Bonne soirée