Bonjour,
Quelqu'un pourrait'il me renseigner :
on pose E l'espace vectoriel des fonctions continue de [0,1] dans R muni du produit scalaire (f,g)->int entre 0 et 1 de f(t)g(t)dt.
si on pose F={f de E tel que f(0)=0}
Je ne comprend pas pourquoi l'orthogonal de F se réduit a la fonction nulle. en prenant par exemple pour g une fonction constante
et pour f la fonction nulle on obtient un produit scalaire nul.
Merci d'avance.
Il fautpour tout
d'accord mon exemple ne marche pas, mais alors comment fait ton pour prouver qu'il n'y a que la fonction nulle qui marche ?
Moi j'approcherai le problème par densité :
1) tu montres que F est dense dans C([0,1]) muni de la norme issue du produit scalaire
2) tu remarques que si g appartient à l'orthogonal de F, tu peux approcher g par une suite fn d'éléments de F, et alors :
<g, g-fn> tend vers 0 (cauchy-schwarz), donc comme <g,fn> = 0, <g,g> = 0
Donc g est de norme nulle, donc la fonction nulle
