Topologie

[inviteddcf7c73]

Bonjour,

Je planche sur une question depuis trois jours, je vous donne l'énoncé :

Soir a un réel, tel que |a|<1. Soit v une fonction de R dans R, bornée sur R. Je dois montrer qu'il existe une unique
fonction u : R --> R, bornée, telle que u(x) - a*u(x+1) = v(x), pour tout x réel.
Je ne sais pas du tout comment partir, je suis bloqué dessus depuis deux jours.

Je pense qu'il faut supposer |u|<=M, puis partir la dessus mais je n'arrive à rien.
Si vous pouviez m'aider ce serait super!
Merci beaucoup.
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[Seirios]

Bonjour,

Si est une solution bornée, tu peux montrer par récurrence que , puis regarder ce qui se passe pour . Cela te donnera l'unicité, et un candidat pour l'existence.

[inviteddcf7c73]

Waw super je n'aurais jamais pensé à le poser de cette manière. J'ai bien vérifié la récurrence, c'est OK. Une fois que n--> infini,
comme v bornée, la somme de droite qui converge uniformément, et u(x) est sa limite non? La limite d'une somme des termes
d'une suite géométrique? Mais je n'arrive pas bien à voir comment prouver l'unicité et l'existence avec ça... Que faut-il vérifier
ensuite?
Merci pour ton aide en tout cas, ce'st super sympa!

[Seirios]

Tu as donc montré que (où la série converge bien, même uniformément). Donc si u est solution, tu en trouves une expression explicite, qui ne dépend pas de u ; tu n'as donc pas de choix sur la solution, il ne peut y en avoir qu'au plus une. Pour montrer l'existence, il te suffit de montrer que cette expression est bien solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteddcf7c73]

ahhhh Oui! Génial ça marche! Bravo et merci encore.