Relations d'équivalences

[ABreton]

Bonsoir, je bloque à une question car je comprends mal les écritures.
Soit l'ensemble A et R une relation d'équivalence sur cet ensemble.
La classe d'équivalence, C(x)={y€A / xRy}.

On me demande de montrer que si xRy, C(x) inclus dans C(y).

J'aimerais que l'on m'aide en me donnant la premiere ligne du raisonnement, comme C(x)={y€A / xRy}, je ne sais pas me débrouiller ensuite avec cette écriture.

Merci pour l'aide.
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[gg0]

Bonsoir.

Il va falloir changer d'écriture de le définition, car y est déjà défini dans "si xRy".
On va définir et
Il te reste à montrer que si t est dans C(x), alors t est dans C(y) (en utilisant bien sûr xRy et les propriétés de R, relation d'équivalence).

Bon travail !

[ABreton]

Merci pour la réponse.

Toutefois j'ai une autre question je ne sais pas comment appliquer le fait que la relation soit transitive tout en gardant l'écriture correcte.

Est-ce que:

C(x)={t€A/xRt}={t€A, il existe y€A / xRy et yRt}

est juste?

Merci encore.

[gg0]

Désolé,

je ne comprends même pas pour quoi tu écris ça !

Tu dois démontrer si ... alors ...
Il y a deux grandes méthodes :
* Tu pars d'une autre implication qui se transforme en celle-ci.
* Tu supposes le si ... vrai, autrement dit tu prends ce qui suit le si comme hypothèse, et tu en déduis ce qui suit le alors.

Je suppose que tu emploies la deuxième méthode, sinon, dis moi ce que tu fais, que je puisse comprendre. Donc dans cette méthode on a comme hypothèse ; x R y
Et x et y sont donnés par l'hypothèse. Et tu dois t'en servir !! mais pas écrire à l'intérieur d'une définition d'ensemble (pourquoi compliquer ?) "il existe un y", car y est déjà connu.

De plus, pourquoi compliquer avec cette notation d'ensemble alors que "C(x) inclus dans C(y)" signifie très simplement que tout élément de c(x) est aussi dans c(y). Je t'avais lancé dans cette voie.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

C(x)={t€A/xRt}={t€A, il existe y€A / xRy et yRt}

Formellement cette écriture est fausse pour la simple raison que l'existence d'un tel y est une condition suffisante pour que xRt (par transitivité), mais elle n'est pas nécessaire.

[ABreton]

Bonjour,

Je voulais faire la seconde mais je n'y arrive pas, je vais partir de ton point de départ, en espérant que ce soit correct comme j'ai du mal avec les notations (Est-ce que l'on peut passer de ça, à ça, etc...)

Je pars de: Soit et
Donc

Par transitivité de la relation R et comme, par définition, , on a:
=>

On a aussi par définition donc
=>

Par transitivité de la relation R,
=>

=>

Mais là encore j'ai l'impression d'utiliser une hypothèse que je n'ai pas le droit, le fait que car ça revient à dire ce qu'a dit PlanèteF

[PlaneteF]

Je pars de: Soit et
Donc

Par transitivité de la relation R et comme, par définition, , on a:
=>

On a aussi par définition donc
=>

Par transitivité de la relation R,
=>

=>

Mais là encore j'ai l'impression d'utiliser une hypothèse que je n'ai pas le droit, le fait que car ça revient à dire ce qu'a dit PlanèteF

Tu t'embrouilles là, ... en écrivant des choses pas claires et d'autres carrément fausses.

Une méthode pour démontrer qu'un ensemble est inclus dans un ensemble , est de démontrer que tout élément de appartient à (remarque : si tu démontres la réciproque alors tu démontres l'égalité des 2 ensembles).

Ce qui donne ici :

Soit , montrons alors que


Donc puisque alors par définition

Or par hypothèse,

Donc par transitivité ... bla bla bla bla et donc bla bla bla bla

[gg0]

Bonjour PlaneteF.

Je lui ai déjà conseillé deux fois de faire ainsi, mais il ne veut pas, il veut écrire des ensembles (probablement pour copier un exercice précédent).

Cordialement.

[jamo]

Donc par transitivité ... bla bla bla bla et donc bla bla bla bla

Yo Man
et en Français

[ABreton]

gg0 c'est pas que je ne veux pas, je me suis appuyé sur ton aide. C'est que oui on a toujours fait, jusque là, en écrivant les ensembles et en y travaillant dessus.

Et j'ai compris que je me complique pour rien.

Pour finir, PlanèteF,
Donc par transitivité, tRy

Donc t \in C(x) ⊂ C(y)

Et inversement, C(y) ⊂ C(x).

Merci pour tout.

[PlaneteF]

Donc par transitivité, tRy

Donc t \in C(x) ⊂ C(y)

Plus précisément, pour bien décomposer le raisonnement :

donc donc

[ABreton]

Bonsoir, et encore merci.

Je pose une dernière question.

J'ai une question qui est: "Montrer que si A et B sont 2 classes d'équivalence différentes, A inter B = l'ensemble vide"
Je dois montrer la contraposée,
Et la je doute entre:
Si A(différence symétrique)B est différent de l'ensemble vide alors A et B sont 2 classes d'équivalence identiques
Et
Si A inter B est différent de l'ensemble vide alors A et B sont 2 classes d'équivalence identiques.

J'étais parti sur le second choix, choix que j'avais réussi à montrer mais j'ai un doute si c'est la bonne contraposée (Pour moi oui vu que j'ai réussi a le montrer).

[gg0]

Ben ... le contraire de "est" c'est "n'est pas". Donc le deuxième choix.

Après, tu en fais ce qu'il faut.

[ABreton]

J'hésitais sur le fait de changer le "intersection" ou non.
Merci, bonne soirée.