Somme de l'inverse des carrés

[invite0f0afca1]

Bonjour,

L'identité d'Euler donne pour la somme infinie de l'inverse des carrés:

zeta2.gif

Est-ce qu'il existe une formule qui donne pour m quelconque le résultat ?

zeta2m.gif

Merci pour vos lumières
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[gg0]

Malheureusement,

il n'existe pas de formule simple. La somme de la série est trouvée par d'autres moyens qu'exprimer la somme partielle.

Cordialement.

[invite0f0afca1]

Malheureusement,

il n'existe pas de formule simple. La somme de la série est trouvée par d'autres moyens qu'exprimer la somme partielle.

Cordialement.

C'est ce que je craignais.

Ca équivaut à trouver une fonction f telle que f(x) - f(x-1) = 1/x². Est-ce qu'on a pu démontrer qu'une telle fonction n'existe pas, ou on a juste pas trouvé ?

[gg0]

Aucune idée !

Mais tu peux chercher ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f0afca1]

Salut,

Finalement j'ai trouvé Ca pique les yeux !

[gg0]

Toujours pas validé. Apparement pour de bonnes raisons.

[invite0f0afca1]

Toujours pas validé. Apparement pour de bonnes raisons.

Qu'est-ce qui n'est pas validé ?

[gg0]

A l'heure de mon message,ton message (intégrale) n'était pas validé.

Sinon, ta formule est marrante, mais pas très explicite. Remplacer une somme finie par une intégrale qui est une limite de sommes finies pour un nombre de termes qui tend vers l'infini n'est pas parfait.

Mais c'est une jolie formule.Probablement connue depuis longtemps (je en suis pas spécialiste du domaine). Bravo quand même.

[invite0f0afca1]

Sinon, ta formule est marrante, mais pas très explicite.

Il faut partir de l'égalité


Puis, sommer les intégrales

Remplacer une somme finie par une intégrale qui est une limite de sommes finies pour un nombre de termes qui tend vers l'infini n'est pas parfait.

Oui, je suis d'accord. J'essaie de voir pour une primitive, mais le terme 1/sin n'aide pas

Mais c'est une jolie formule.Probablement connue depuis longtemps (je en suis pas spécialiste du domaine). Bravo quand même.

Merci, mais je n'ai aucun mérite. L'égalité pour 1/x² n'est pas de moi. Je n'ai pas de démonstration d'ailleurs

[gg0]

L'égalité doit se prouver par une double intégration par parties, et comme on primitive le cos, puis le sin, on tombe sur 1/k².

Cordialement.

[inviteaf1870ed]

C'est une méthode classique pour calculer zeta (2) : http://gilles.costantini.pagesperso-...iers/zeta2.pdf

voir aussi : http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta.../etc/zeta2.pdf

[gg0]

Merci Ericc !

[breukin]

Juste un tout petit peu plus simple en écriture :

[breukin]

Qu'on peut encore améliorer en :

[invite0f0afca1]

Qu'on peut encore améliorer en :

Merci, plus simple en effet

Est-ce qu'il existe une primitive connue ?

[breukin]

L'intégrateur de Wolfram donne une primitive avec plein de fonctions hypergéométriques....

http://integrals.wolfram.com/index.j...9&random=false

Initilisable en pratique...

[invite0f0afca1]

http://integrals.wolfram.com/index.j...9&random=false

La vache ! ça décoiffe