contractante

[invite371ae0af]

Bonjour

j'ai un problème sur un exo:

f:[-1,1]-->R avec

comment savoir si f est contractante car lorsque j'utilise le théorème des accroissements finis je trouve k=1?


merci
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[gg0]

Bonsoir.

D'abord, f n'est pas définie en -1. Si tu appliques la définition, que se passe-t-il ?

Cordialement.

[invite371ae0af]

f est définie sur [0,1], erreur de frappe

en faites j'utilise le théorème des accroissements finis,
j'obtiens et je majore par |x-y|

[gg0]

Avec c entre x et y.

le seul problème est si x (ou y) est nul (il serait encore là si 0 était exclu, mais plus complexe à présenter). Peut-on trouver un k qui convienne (avec k<1) ?

Tu peux conclure seul, tu connais le cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

il me semble que c dans ]x,y[, du coup que x ou y soit nul ce n'est gênant?

d'autre part, pour moi le k n'existe pas, mais comment le montrer?

[gg0]

Bon,

je vais "manger le morceau" : f est 1-lipschitzienne, donc pas contractante. En effet, le plus petit k qui convienne est 1.
Tu peux montrer que pour tout k<1, si |f(x)-f(y)|<k|x-y|, alors x et y sont supérieurs à un a>0, donc f n'est pas k-lipschitzienne sur [0;1] ni sur ]0;1].

Cordialement.

[invite371ae0af]

mais des fois, on peut avoir k=1 et la fonction est contractante donc comment savoir?

[invite14e03d2a]

mais des fois, on peut avoir k=1 et la fonction est contractante donc comment savoir?

Salut, quelle est ta définition de contractante?
1) -lipschitzienne avec ? Dans ce cas-là, la réponse de gg0 convient, non?
2) Pour tout , on a ? Dans ce cas, il suffit de calculer pour étudier le caractère contractant de f.

Wikipedia donne http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_contractante comme définition.

[gg0]

369,

si tu veux dire qu'on sait que |f(y)-f(x)|<|y-x| (k=1) mais qu'on démontre aussi que f est contractante, ce n'est qu'une question de connaissance incomplète. Je supposais que dans ta définition de contractante, c'était k<1 et je t'ai donné une voie pour y arriver. maintenant, tu peux continuer à rêver (" et si ...?", "et dans tel exercice ...", ...) ou bien te mettre à rédiger ta preuve.

[invite371ae0af]

si je prend f(x)=x/2

j'ai, |f(x)-f(y)|<=|x-y|, du coup d'après la définition de contractante comme k=1 f n'est pas contractante. Pourtant f l'est

[gg0]

Tu as aussi |f(x)-f(y)|<=2|x-y| ou même |f(x)-f(y)|<=10¹⁰⁰⁰|x-y|. Et alors ?
Par contre, comme |f(x)-f(y)|<=0,5|x-y|, la définition de contractante s'applique !

Le fait qu'une propriété différente soit vraie n'interdit pas qu'une propriété soit vraie.
pour montrer qu'une fonction est contractante, il faut prouver que le k<1 existe. Pour prouver qu'elle ne l'est pas, il faut donc prouver que le k<1 n'existe pas.

Cordialement.

[invite371ae0af]

ok je pense avoir compris

si je reprend ma fonction du début, et d'après vos messages: montrer que pour tout k<1, si |f(x)-f(y)|<k|x-y|, alors x et y sont supérieurs à un a>0

mais quel est ce a, j'ai essayé de trouver une contradiction c'est-à-dire trouver un x et y tel que |f(x)-f(y)|>k|x-y| mais sans succés

[gg0]

Comme ça se passe du côté de 0 (où la dérivée vaut 1), tu peux prendre y=0 et regarder ce que ça donne.

Cordialement.

[invite371ae0af]

effectivement cela fonctionne, merci pour votre aide