Bonjour à tous,
Je calcule la dérivée de arcos[(1-x^2)/(1+x^2)] - 2 arctanx.
Calculons la dérivée de arcos[(1-x^2)/(1+x^2)] .
u/v=[(1-x^2)/(1+x^2)] u'v-uv'/v^2 Donc -2x-2x^3 -2x+2x^3/ ((1+x^2)^2
soit -4x/(1+x^2)^2
jusque là vous êtes d'accord?
après la dérivée de arcos c'est -1/ racine(1-x^2)
d'où
-4x/(1+x^2)^2 * -1/ racine(1-([(1-x^2)/(1+x^2)]^2))
jusque là vous êtes d'accord? J'ai remplacé x^2 par ([(1-x^2)/(1+x^2)]^2)).
Bon là ça va être le calcul, et c'est là que je ne trouve pas la même chose que les autres.
Je développe (1-x^2) ^2 en haut: 1-2x^2+ x^4 puis (1+x^2)^2 en bas: 1+ 2x^2+ x^4
donc en dessous de ma racine j'ai 1-[(1-2x^2+ x^4 )/1+ 2x^2+ x^4]
Je transforme 1 et multiplie en haut et en bas par 1+ 2x^2+ x^4.
ce qui donne[ 1+ 2x^2+ x^4-(1-2x^2+ x^4 )]/1+ 2x^2+ x^4
ce qui donne 4x^2/ (1+x^2)^2 j'ai remis en facteur
là vous êtes d'accord? (je dis ça à chaque fois, pour trouver une bonne fois pour toute là où j'ai fait mon erreur de calcul).
donc reprenons la dérivée dans sa globalité
on a -4x / (1+x^2)^2 * -1 / racine[ 4x^2/ (1+x^2)^2]
le signe est positif. donc on reprend les calculs sans le signe et on se débarrasse de la racine et on met (1+x^2)^2 au numérateur pour simplifier les calculs
4x/ (1+x^2)^2 * (1+x^2)/ 2x
donc la dérivée de arcos(1-x^2/ 1+ x^2) est 2/ (1+ x^2)
et mon camarade a trouvé pour la même dérivé : 2x/|x|(1 + x²) (car x² = |x|).
après pour arctan on est d'ccord c'est -2/ 1+x^2
alors qu'en pensez vous? Où est l'erreur dans mes calculs?
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