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[Algebre lineaire]Exo theorique. Licence



  1. #1
    Blead

    [Algebre lineaire]Exo theorique. Licence


    ------

    Bonsoir,

    Je vous remercie déjà de l'intêret que vous portez à mon problème. Je l'ai déjà bien entamé!

    J'ai cette exo d'algèbre linéaire à faire.

    E un K-ev de dim=n , u∈End(E) endo nilpotent d'orde m∈N; on note Fr= Ker ur.

    1. Mq Fr ⊂ Fr+1; u(Fr+1) ⊂ Fr; Fr-1 ⊈ Fr pour r ≤ m.

    2. Mq Si m=n, Il existe une Base B de E dans laquelle MatB u est Jn ( matrice avec des 0 partout sauf des 1 sur la diagonale juste au dessus de la "vrai" diagonale. )
    0100
    0010 (Exemple en 4x4)
    0001
    0000

    3. Mq si m=n, C(u)= {v ∈ End(E) / uv=vu } est égal à K[u]= { P(u) / P ∈ K[X] }

    4. Mq si m=n et que F ⊂ E est un sev u-stable, alors il existe r ∈ {1..n} / F = Fr.

    5. Mq si F ⊂ E et F ∩ Fr = {0}, pour un r ∈ [1,m], alors u(F) ∩ Fr-1 = {0} et u induit un isomorphisme de F sur u(F).

    6. Mq il existe une suite U1... Um de sev de E tq:
    E = Fm = Fm-1⊕U1 ; ... ; F1= F0⊕Um
    u applique injectivement Ur dans Ur+1 pour 1 ≤ r ≤ m-1

    7. Mq il existe une Base B' de E tq MatB' u est de la forme comme Jn mais avec des ε1...εn ∈ {0,1} à la place des 1.

    Voici pour le sujet.

    J'ai fais:

    1. Simple, on prend un x dans les différents ensembles , on applique u est on montre les inclusions.

    2. Je prend la base B = { v1,..., vn } avec :
    Ker(u-k.Id)∋v1=(u-k.id)v2
    ..
    ..
    Ker(u-k.Id)n∋vn

    0E ⊈ Ker(u-k.Id) ⊈ Ker(u-k.Id)² ⊈ ... ⊈ Ker(u-k.Id)n (k valeur propre de u)

    (Principe de trigonalisation réduite )

    3. On dois Mq v = P(u) i.e ∀x∈E, v(x)= P(u)(x) <=> ∀i, v(bi) = P(u)(bi) <=> ∀i; v(un-i(bn))=P(u)(un-i(bn) <=> ∀i, un-i(v(bn))= un-i(P(u)(bn)) Ce qui est vrai!

    4. uF étant nilpotent. uFn = 0.
    Soit l l'indice de nilpotence de uF, on a :

    0E ⊈ Ker(uF) ⊈ Ker(uF)² ⊈ ... ⊈ Ker(uF)l= F

    Or Ker uF= Ker u car dim Ker u = 1, idem pour les autres et on a l'inclusion des puissances de Ker u. On a ce que l'on voulais démontrer.

    5. Soit x ∈ u(F) ∩ Fr-1 et y ∈ F, je montre de x=u(y)=u(0)=0.

    6. J'ai pas trop d'idée..

    7. Pas encore trop réfléchi à quelle base prendre.


    Merci de m'aider à trouver les reponses.

    CDT

    -----

  2. #2
    gg0

    Re : [Algebre lineaire]Exo theorique. Licence

    Bonsoir.

    Pour le 6, tu connais l'existence de supplémentaires. C'est ce que sont les Ui. Et tu connais ou peux démontrer l'injectivité d'une application linéaire (non nulle) restreinte à un supplémentaire du noyau.

    Cordialement.

  3. #3
    Blead

    Re : [Algebre lineaire]Exo theorique. Licence

    Bonsoir

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonsoir.

    Pour le 6, tu connais l'existence de supplémentaires. C'est ce que sont les Ui. Et tu connais ou peux démontrer l'injectivité d'une application linéaire (non nulle) restreinte à un supplémentaire du noyau.

    Cordialement.
    Ok pour l'existence de la suite. ( Je pensais trop loin )

    Par contre je ne vois pas le rapport avec le fait que u applique injectivement Ur dans Ur+1?

    Merci

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