Bonsoir,
Je vous remercie déjà de l'intêret que vous portez à mon problème. Je l'ai déjà bien entamé!
J'ai cette exo d'algèbre linéaire à faire.
E un K-ev de dim=n , u∈End(E) endo nilpotent d'orde m∈N; on note Fr= Ker ur.
1. Mq Fr ⊂ Fr+1; u(Fr+1) ⊂ Fr; Fr-1 ⊈ Fr pour r ≤ m.
2. Mq Si m=n, Il existe une Base B de E dans laquelle MatB u est Jn ( matrice avec des 0 partout sauf des 1 sur la diagonale juste au dessus de la "vrai" diagonale. )
0100
0010 (Exemple en 4x4)
0001
0000
3. Mq si m=n, C(u)= {v ∈ End(E) / uv=vu } est égal à K[u]= { P(u) / P ∈ K[X] }
4. Mq si m=n et que F ⊂ E est un sev u-stable, alors il existe r ∈ {1..n} / F = Fr.
5. Mq si F ⊂ E et F ∩ Fr = {0}, pour un r ∈ [1,m], alors u(F) ∩ Fr-1 = {0} et u induit un isomorphisme de F sur u(F).
6. Mq il existe une suite U1... Um de sev de E tq:
E = Fm = Fm-1⊕U1 ; ... ; F1= F0⊕Um
u applique injectivement Ur dans Ur+1 pour 1 ≤ r ≤ m-1
7. Mq il existe une Base B' de E tq MatB' u est de la forme comme Jn mais avec des ε1...εn ∈ {0,1} à la place des 1.
Voici pour le sujet.
J'ai fais:
1. Simple, on prend un x dans les différents ensembles , on applique u est on montre les inclusions.
2. Je prend la base B = { v1,..., vn } avec :
Ker(u-k.Id)∋v1=(u-k.id)v2
..
..
Ker(u-k.Id)n∋vn
0E ⊈ Ker(u-k.Id) ⊈ Ker(u-k.Id)² ⊈ ... ⊈ Ker(u-k.Id)n (k valeur propre de u)
(Principe de trigonalisation réduite )
3. On dois Mq v = P(u) i.e ∀x∈E, v(x)= P(u)(x) <=> ∀i, v(bi) = P(u)(bi) <=> ∀i; v(un-i(bn))=P(u)(un-i(bn) <=> ∀i, un-i(v(bn))= un-i(P(u)(bn)) Ce qui est vrai!
4. uF étant nilpotent. uFn = 0.
Soit l l'indice de nilpotence de uF, on a :
0E ⊈ Ker(uF) ⊈ Ker(uF)² ⊈ ... ⊈ Ker(uF)l= F
Or Ker uF= Ker u car dim Ker u = 1, idem pour les autres et on a l'inclusion des puissances de Ker u. On a ce que l'on voulais démontrer.
5. Soit x ∈ u(F) ∩ Fr-1 et y ∈ F, je montre de x=u(y)=u(0)=0.
6. J'ai pas trop d'idée..
7. Pas encore trop réfléchi à quelle base prendre.
Merci de m'aider à trouver les reponses.
CDT
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Envoyé par gg0 
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