Exercice 1.
Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A, B, AB et O. Par ailleurs, le sang
peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d'un individu possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif ;
s'il ne possède pas ce facteur, il est dit de Rhésus négatif. Un individu ayant un sang du groupe O et de
Rhésus négatif est appelé donneur universel. Sur une population P, les groupes sanguins se répartissent
de la manière suivante :
A B AB O
40% 10% 5% 45%
Le tableau suivant donne, au sein de chaque groupe, la proportion d'individus possédant le facteur
Rhésus.
A B AB O
82% 81% 83% 80%
On choisit un individu au hasard dans la population P.
1. Quel est l'ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire ?FAIT
2. Calculer la probabilité des événements suivants :FAIT
(a) O = "l'individu a un sang du groupe O"
(b) DU = "l'individu est un donneur universel"
(c) RN = "l'individu a un sang de Rhésus négatif"
3. Les événements O et RN sont-ils indépendants ? j'ai trouvée qu'ils n'etaient pas indépendants est-ce correct ?
4. Sachant que l'individu a du sang de Rhésus négatif, quelle est la probabilité qu'il soit du groupe O ? FAIT
Exercice 2. On veut estimer le nombre N > 30 d'écureuils vivants sur le campus d'Orsay. Pour cela
on en capture M = 20, on leur met une marque sur une patte et on les relâche. On attend un mois que
les 20 écureuils se mélangent avec le reste de la population écureuil du campus. Ce mois étant passé on
capture n = 10 écureuils au hasard. On compte le nombre d'écureuils marqués parmi ces 10 et on note
ce nombre XN. (les questions 2 et 3 sont indépendantes)
1. Quelle est la loi de XN ?
2. Pour 1 ≤ i ≤ 10 on définit Ai comme étant la variable aléatoire égale à 1 si le i-ème écureuil
(parmi les 10) a une marque et 0 sinon.
(a) Quelle est la loi de Ai ? Exprimer XN en fonction des Ai
. En déduire E[XN].
(b) Calculer P(A1 = 1 ∩ A2 = 1). Les variables aléatoires Ai sont elles indépendantes ?
3. On définit la suite
uN = P(XN = 3).
(a) Donner une expression de uN en fonction de N ?
(b) À quelle condition
uN / uN−1 > 1?
En déduire un tableau de variation pour uN.
(c) Pour quel N, uN est-elle maximal ?
(d) On suppose que sur les 10 écureuils, 3 sont marqués. Quel est la taille N de la population d'écureuil pour laquelle cette observation était la plus probable ? On appelle cet entier
l'estimateur du maximum de vraisemblance de la taille de la population.
Je n'arrive pas a faire l'exercice 2, je suis complètement bloquée est-ce que quelqu'un pourrai m'aider ? je vous remercie d'avance =)
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