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Exercice de probabilité



  1. #1
    lamisss91

    Exercice de probabilité


    ------

    Exercice 1.
    Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A, B, AB et O. Par ailleurs, le sang
    peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d'un individu possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif ;
    s'il ne possède pas ce facteur, il est dit de Rhésus négatif. Un individu ayant un sang du groupe O et de
    Rhésus négatif est appelé donneur universel. Sur une population P, les groupes sanguins se répartissent
    de la manière suivante :
    A B AB O
    40% 10% 5% 45%

    Le tableau suivant donne, au sein de chaque groupe, la proportion d'individus possédant le facteur
    Rhésus.

    A B AB O
    82% 81% 83% 80%
    On choisit un individu au hasard dans la population P.

    1. Quel est l'ensemble des résultats possibles de cette expérience aléatoire ?FAIT

    2. Calculer la probabilité des événements suivants :FAIT
    (a) O = "l'individu a un sang du groupe O"
    (b) DU = "l'individu est un donneur universel"
    (c) RN = "l'individu a un sang de Rhésus négatif"

    3. Les événements O et RN sont-ils indépendants ? j'ai trouvée qu'ils n'etaient pas indépendants est-ce correct ?

    4. Sachant que l'individu a du sang de Rhésus négatif, quelle est la probabilité qu'il soit du groupe O ? FAIT

    Exercice 2. On veut estimer le nombre N > 30 d'écureuils vivants sur le campus d'Orsay. Pour cela
    on en capture M = 20, on leur met une marque sur une patte et on les relâche. On attend un mois que
    les 20 écureuils se mélangent avec le reste de la population écureuil du campus. Ce mois étant passé on
    capture n = 10 écureuils au hasard. On compte le nombre d'écureuils marqués parmi ces 10 et on note
    ce nombre XN. (les questions 2 et 3 sont indépendantes)

    1. Quelle est la loi de XN ?

    2. Pour 1 ≤ i ≤ 10 on définit Ai comme étant la variable aléatoire égale à 1 si le i-ème écureuil
    (parmi les 10) a une marque et 0 sinon.

    (a) Quelle est la loi de Ai ? Exprimer XN en fonction des Ai
    . En déduire E[XN].

    (b) Calculer P(A1 = 1 ∩ A2 = 1). Les variables aléatoires Ai sont elles indépendantes ?

    3. On définit la suite

    uN = P(XN = 3).

    (a) Donner une expression de uN en fonction de N ?

    (b) À quelle condition

    uN / uN−1 > 1?
    En déduire un tableau de variation pour uN.
    (c) Pour quel N, uN est-elle maximal ?
    (d) On suppose que sur les 10 écureuils, 3 sont marqués. Quel est la taille N de la population d'écureuil pour laquelle cette observation était la plus probable ? On appelle cet entier
    l'estimateur du maximum de vraisemblance de la taille de la population.

    Je n'arrive pas a faire l'exercice 2, je suis complètement bloquée est-ce que quelqu'un pourrai m'aider ? je vous remercie d'avance =)

    -----

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  3. #2
    toothpick-charlie

    Re : Exercice de probabilité

    je t'aide pour le début : la loi de XN c'est la loi binomiale avec comme paramètres 10 et p inconnu, p étant la probabilité qu'un écureuil tiré au hasard dans la population ait déjà été capturé. Si tu supposes qu'il y a N écureuils dans la population, et comme tu en as marqué 20, tu en déduis que p=20/N (toujours inconnu).

    D'un point de vue biologique, ça suppose plusieurs choses :
    1) qu'il n'y a pas de naissances ni de morts dans l'intervalle entre les 2 captures (ou du moins qu'on peut les négliger)
    2) que les écureuils marqués sont ni plus ni moins capturables que les autres.
    Dernière modification par toothpick-charlie ; 27/11/2012 à 14h20.

  4. #3
    lamisss91

    Re : Exercice de probabilité

    D'accord et je sais que la formule de la loi binomial c'est :

    P( X=K) = N!K * P^K * (1-P)^(N-K)

    or P = 20/N

    Je remplace

    P ( X=K) = N!K* (20/N)^K*(1-P)^(N-K)

    Mais comment je fais pour trouver K et N ?

  5. #4
    toothpick-charlie

    Re : Exercice de probabilité

    en fait cet exercice a pour but de faire découvrir une méthode d'estimation de N. La méthode de capture-recapture sert à ça. K c'est ce qui sera observé (le nombre d'écureuils capturés 2 fois) et N on propose de l'estimer par la valeur qui maximise la probabilité d'observer K. C'est ce qu'on appelle méthode du maximum de vraisemblance.

  6. #5
    lamisss91

    Re : Exercice de probabilité

    je ne vois vraiment pas . peux-tu m'expliquer numériquement ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    lamisss91

    Re : Exercice de probabilité

    ok j'ai compris le 1 de l'exercice 2
    mais comment je deduit E[XN] ?

  9. Publicité
  10. #7
    toothpick-charlie

    Re : Exercice de probabilité

    je m'aperçois que je t'ai donné une indication fausse. J'ai supposé implicitement que N était très grand devant 10 et donc que les écureuils pouvaient être vus comme des tirages indépendants avec remise, d'où la loi binomiale. En fait puisqu'on ne connaît pas N on ne peut pas faire cette approximation. La loi de XN est en fait ce qu'on appelle loi hypergéométrique (voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyp...om%C3%A9trique ). Je te laisse chercher un peu.

  11. #8
    lamisss91

    Re : Exercice de probabilité

    j'avais fait la même supposition a mon prof mais c'est bien une loi binomiale d'après mon prof

  12. #9
    toothpick-charlie

    Re : Exercice de probabilité

    ton prof fait donc la même approximation que je faisais implicitement... elle est très mauvaise si N est à peine plus grand que 30. Mais bon, c'est en général une bonne politique de se conformer aux vues du prof. Donc pour la question 2) tu vas être obligée de dire que les Ai sont indépendants.

  13. #10
    lamisss91

    Re : Exercice de probabilité

    oui c'est ce que j'ai fait , j'ai fait l'exercice mais je n'arrive pas a faire la dernière question ( la 3)d) )

  14. #11
    lamisss91

    Re : Exercice de probabilité

    j'ai vu mon prof aujourd'hui et il m'a dit qu'il fallait utiliser la loi hypergeometrique mais nous ne l'avons pas vu en cours . Est-ce que quelqu'un pourrai me montrer comment faire avec cette loi pour l'exercice 2 ? merci

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