Groupe des entiers infiniment grands.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Le titre est un peu provocateur, mais voici une de mes constructions que j'aimerai vous exposer pour que vous puissiez me donner votre avis, essayer de mieux comprendre cet ensemble.

Je suis parti de l'ensemble des suites entières, et dessus j'ai définit une addition, qui, quand j'injecte canoniquement les entiers, est compatible avec l'addition entière. Trêve de bavardages, voici plus formellement ce dont je parle.

On se donne b un entier plus grand que 2, base de notre représentation des entiers. On note l'ensemble des suites à valeur dans

Soit alors il existe un unique entier tel que l'on a (c'est le quotient -si je ne me trompe pas - dans la division euclidienne de n par m). On le notera . On obtient alors le reste de la division euclidienne de n par m à l'aide de la formule .

On définit alors deux applications, (donc associe à un entier le reste dans sa division euclidienne par b) et (associe à un entier son quotient dans la division par ).

Et enfin on pose .

On remarque que pour tout entier n on a alors , associe donc son m-ième chiffre dans la base b.

On définit alors une addition sur par pour tout entier n, . Alors on peut vérifier que la loi est bien interne (évident au vue de l'ensemble d'arrivée de pour tout m), commutative est direct, associative semble un peu plus difficile, c'est sûrement vrai, mais mes notations rendent les choses très compliquées, il vaudrait mieux travailler avec les congruences par exemple.

Il y a un zéro trivial pour la loi, la suite nulle, on la note 0.

On se donne une suite non nulle. On note le plus petit entier n tel que soit non nul. On définit alors une suite v comme s'en suit:

Si on pose , si on pose et enfin si on pose . On se rend compte alors que . Donc toutes les suites sont symétrisable (0 l'étant trivialement).

Donc est un groupe.

On pose alors . Sans trop de difficulté, on trouve que elle est injective, et de plus respecte l'addition de chacun des ensemble.

On arrive ainsi à créer des symétriques aux entiers naturels.

Par exemple 1 est envoyé sur et son symétrique est , 2 est envoyé sur et son symétrique est

En fait les entiers sont envoyés sur les suites presque nulles, et leur symétriques, ou entier négatifs, sont envoyés sur les suite stationnaires en 9.

Je me demande donc quel peut être le représentation d'un élément du genre (0 et 1 alterné) qui a pour symétrique .

Merci d'avoir pris le temps de me lire.

RoBeRTo
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[Médiat]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien votre question : vous définissez un nouvel ensemble, et vous avez l'air perturbé parce qu'il contient de nouveaux éléments ...

Vous devriez regarder les entiers p-adiques, par exemple là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, le chapitre sur les p-adiques.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Je ne suis pas perturbé, en fait j'aimerai savoir si ils peuvent être interprété d'une certaine manière, du genre peut on ajouter une multiplication sur mon groupe pour qu'elle prolonge une fois de plus celle des entiers, etc... Je connais les nombres p-adiques (enfin connais est un grand mot, je les ai déjà entre vus) mais je ne les avait pas vus amenés de la façon de votre document (que j'ai feuilleté quelques fois pourtant...). Effectivement, cela ressemble beaucoup au entiers p-adiques.

Merci.