Norme d'application linéaire

[invitea2257016]

Bonsoir à tous!

Voila, en fait j'aimerai savoir s'il vous plait si vous pouvez m’expliquer ce que représente la norme d'une application linéaire (ou j'ai cru comprendre qu'on dit aussi norme d’opérateur) car je n'arrive pas à visualiser ce que ça représente exactement. Par exemple la norme euclidienne d'un vecteur représente sa distance à l'origine. Dans le cas des applications linéaires que représente la norme d'une application linéaire s'il vous plait?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Que représente la norme : "sa distance à l'origine".

Je ne plaisante qu'à moitié. Pour un vecteur, sa norme indique un certain effet qui se multiplie (en valeur absolue) quand on multiplie le vecteur, est nul seulement si le vecteur est nul et respecte des liens avec l'addition. Ce n'est finalement que l'idée de "longueur" du vecteur géométrique généralisée : Le vecteur a pour longueur le nombre et c'est ce nombre qu'on appelle sa norme. On a généralisé ça à divers espaces vectoriels (les ev normés) ce qui permet d'user d'images géométriques.
Maintenant pour un opérateur linéaire entre espaces vectoriels, s'il existe des normes sur ces espaces, on peut définir une norme sur l'opérateur compatible avec celles sur les vecteurs. Rien de surprenant que l'espace des opérateurs puisse être normé, c'est un espace vectoriel.

Par contre, oublie cette idée de "distance à l'origine" car si on a seulement un espace métrique (donc seulement une distance) il n'y a ni origine, ni linéarité, et sur les ev normés on définit justement une distance par la norme. Donc on tounreait en rond. Enfin, qu'appellerais-tu "distance à l'origine" pour ?

Cordialement.

[invitea2257016]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ta réponse.

Enfin, qu'appellerais-tu "distance à l'origine" pour ?

En fait je voulais dire "distance à l'origine" pour les vecteurs d'un espace vectoriel. Si j'ai un vecteur un espace vectoriel, l'impression que j'ai en tout cas c'est que la norme (euclidienne) est la distance de x à l'origine, c'est à dire la la longueur de la droite reliant 0^E à x, non? Je me trompe peut être...

Merci d'avance

Cordialement

[gg0]

Dans un ev normé, on définit une distance par . Donc traduire la norme par la distance qui n'est défini que par la norme, ce n'est pas traduire.
Tu n'as d'ailleurs pas répondu à ma question, préférant une impression vague (" la longueur de la droite reliant 0^E à x"), liée à la structure d'espace affine à une réflexion sérieuse. Donc réfléchis vraiment à ma question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2257016]

Ah d'accord tu voulais dire ce que signifie une norme en général et pas que dans un espace affine? Bah justement je n'arrive pas à voir ce que c'est exactement, ce que ça représente, si ce n'est que c'est juste une fonction qui vérifie les 4 propriétés d'une norme.

[gg0]

Voilà !

Et qui permet donc de penser géométriquement (norme ayant traduit l'idée de module ou intensité ou longueur ou norme des vecteurs géométriques) des situations. Avec les conséquences utiles suivant les situations.

Mais si tu abordes les opérateurs linéaires avec seulement la connaissance de l'affine (et pas bien digéré), tu vas avoir du mal. étudie vite les notions classiques d'algèbre linéaire, en gros ce qu'on voit en prépa ou en L1 et L2. Qu'au moins tu ais une petite intuition sur les applications linéaires, en dimension finie, ou en dimension infinie.

Cordialement.

[invitea2257016]

Merci pour ta réponse.

Ah mais j'ai très très très (et j'insiste bien sur le "très" ) bien étudié l’algèbre linéaire en L1 et L2 avec tout ce qui est produit scalaire (sur un e.v) les normes, le liens entre le produit scalaire et une norme et toute l’algèbre que l'on voit en L1/L2, mais en général j'ai souvent cette manie de vouloir tout me représenter graphiquement. Donc en gros pour les normes et même pour le produit scalaire le cas géométrie euclidienne pour ces notions n'est qu'un cas particulier c'est cela? En gros pour les normes (et produit scalaire) en sur un e.v. en général on ne peut rien se représenter, il s'agit juste de "fonction" qui vérifient tels propriétés, a savoir une formalisation de la notion c'est cela?

Merci d'avance

Edit: dans ce cas là je reformule ma question en quoi la norme d'un opérateur est elle intéressante? Dans quel cas va-t-on l'utiliser?

[gg0]

C'est un peu cela,

sauf que justement, c'est la norme qui permet de se représenter. Les normes sur les espaces de fonctions (et surtout celles qui dérivent d'un produit scalaire) permettent de saisir des situations qui sinon seraient délicates (convergences diverses, par exemple). Voire les semi-normes quand on n'a pas mieux.

Tu as le même problème que moi quand j'étais étudiant : Vouloir représenter géométriquement, vouloir voir. J'ai en grande partie surmonté ça, bien qu'étant toujours faible en algèbre car on ne "voit pas" en général. Pour de nombreuses notions, on ne "comprend" pas, on s'habitue.

Cordialement.

[invitea2257016]

Merci beaucoup tes réponses sont vraiment instructives et m'aident beaucoup à a avancer.

Oui j'ai exactement ce problème hélas! Bon en général quand ce sont des propriétés sur les fonctions, comme la continuité ou autre on peut se le représenter et heureusement d'ailleurs. Mais pour l'algèbre j'ai cru comprendre que non. Comment as tu surmonté ça?
Tu ne retiens directement les définitions sans te les représenter?

PS: j'ai une petite question qui n'a rien à voir mais je me dis que je ne vais pas ouvrir un autre topic pour cela, une des définitions de la continuité de f en a c'est:

Dans cette définition on prend un et on cherche au moins un qui dépend de cet .
Alors ma question (juste pour voir si j'ai bien compris ce que la définition veut montrer) peut-on prendre un quelconque et montré qu'il existe au moins un dépendant de cet et donc réécrire la définition comme tel:


Merci.

[invited5b2473a]

PS: j'ai une petite question qui n'a rien à voir mais je me dis que je ne vais pas ouvrir un autre topic pour cela, une des définitions de la continuité de f en a c'est:

Dans cette définition on prend un et on cherche au moins un qui dépend de cet .
Alors ma question (juste pour voir si j'ai bien compris ce que la définition veut montrer) peut-on prendre un quelconque et montré qu'il existe au moins un dépendant de cet et donc réécrire la définition comme tel:


Merci.

Non, car avec cette nouvelle definition, tu perds la notion de continuite. Tu vas peut etre prendre aussi petit que tu veux, mais rien ne te dira que tendra vers 0.

[invited5b2473a]

Quant a ta question sur la norme et les fonctions, l'idee est de faire appaitre structurellement ton ensemble de fonction comme un ensemble de vecteurs. Les objets ne sont pas les memes mais les relations entre les objets d'un meme ensemble sont les memes. Par consequent, tu peux voir tes fonctions comme des vecteurs, auxquelles tu attribues de maniere analogue, une norme. Par exemple, considere l'ensemble des fonction x->A+Bx, definies sur [0,1] avec A,B deux parametres reels, muni de la loi + (addition de fonctions) et de la loi . qui multiplie une fonction par un reel. On a alors la strcuture d'un espace vectoriel. Eh bien, un extraterrestre ne ferait aucune difference entre cet ensemble et l'espace vectoriel R^2 muni des lois usuelles. Ainsi, tu peux representer ton ensemble de fonctions comme un plan muni d'une base ou les coordonnees de f(x)=A+Bx sont (A,B). De la, tu peux introduire une norme qui represente la taille du vecteur. Par exemple, tu peux choisir N(f)=racine(A^2+B^2).

[invitea2257016]

Non, car avec cette nouvelle definition, tu perds la notion de continuite. Tu vas peut etre prendre aussi petit que tu veux, mais rien ne te dira que tendra vers 0.

Merci pour ta réponse. Alors dans la première en quoi on a tend vers 0?

Merci

Edit:

Quant a ta question sur la norme et les fonctions, l'idee est de faire appaitre structurellement ton ensemble de fonction comme un ensemble de vecteurs. Les objets ne sont pas les memes mais les relations entre les objets d'un meme ensemble sont les memes. Par consequent, tu peux voir tes fonctions comme des vecteurs, auxquelles tu attribues de maniere analogue, une norme. Par exemple, considere l'ensemble des fonction x->A+Bx, definies sur [0,1] avec A,B deux parametres reels, muni de la loi + (addition de fonctions) et de la loi . qui multiplie une fonction par un reel. On a alors la strcuture d'un espace vectoriel. Eh bien, un extraterrestre ne ferait aucune difference entre cet ensemble et l'espace vectoriel R^2 muni des lois usuelles. Ainsi, tu peux representer ton ensemble de fonctions comme un plan muni d'une base ou les coordonnees de f(x)=A+Bx sont (A,B). De la, tu peux introduire une norme qui represente la taille du vecteur. Par exemple, tu peux choisir N(f)=racine(A^2+B^2).

D'accord je crois que je saisi, en gros dans ton exemple par exemple on aurait x représenté par l'axe des ordonnés et "1" par l'axe des abscisses?

[invited5b2473a]

D'accord je crois que je saisi, en gros dans ton exemple par exemple on aurait x représenté par l'axe des ordonnés et "1" par l'axe des abscisses?

Rigoureusement, si tu considere l'application h definie sur cet ensemble de fonction E par h(f)=(A;B) ou (A;B) represente le vecteur de coordonnees (A;B), alors tu peux pmntrer que h est un isomorphisme d'espace vectoriel. Autrement dit, tes deux ensembles, en tant que structures d'ev, sont identiques. Et effectivmenet, on aurait "1" et "x" comme vecteurs de base.

[invited5b2473a]

Merci pour ta réponse. Alors dans la première en quoi on a tend vers 0?

T'as pas le choix! Si tu prends epsilon tout petit et que f est continue en a, alors tu pourras trouver un intervalle centre en a telle que leurs images soient proches de f(a) a moins de epsilon.

[gg0]

Faror,

ta condition :

n'est pas très contraignante. Elle est vraie pour toute fonction bornée sur I (si |f(x)|<M, on peut prendre dans tous les cas ) et sans doute dans d'autres cas.

Méfie toi : Comprendre une définition, ce n'est pas une question d'écriture, mais d'adaptation du texte de la définition à la situation. Pour la définition de la continuité, on rencontre plutôt l'échange entre et qui fait passer de la continuité absolue (celle que tu as écrite) à la continuité. Et ça, ça vaut le coup de bien le comprendre.

Cordialement.

[gg0]

Faror :

on peut se le représenter et heureusement d'ailleurs. Mais pour l'algèbre j'ai cru comprendre que non. Comment as tu surmonté ça?
Tu ne retiens directement les définitions sans te les représenter?

En algèbre, il y a des parties où des représentations sont possibles. Même confuses (j'ai quelque chose dans la tête quand je parle d'un groupe; c'est assez confus, je ne saurais le décrire). Pour le reste, j'arrive à "sentir" quel calcul peut être pertinent ("on ne comprend pas, on s'habitue") et voir qu'il aboutit. mais j'ai un manque de confiance qui fait que je suis peu sûr de moi.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Alors dans la première en quoi on a tend vers 0 ?

Facile : n'a pas à tendre vers 0 (ou, si vous préférez : la question n'est pas pertinente).

Par exemple pour une fonction constante, vous pouvez choisir , cela marchera très bien, quelque soit le choisi.

[invitea2257016]

D'accord, merci.