Sous-variétés

[invite2f314551]

Bonjour à tous!
J'ai un problème en calcul différentiel (pour ce qui s'en souvienne c'est pas la première fois ). J'ai quelques exercices à faire qui sont tous du même type à peu près. J'ai essayé d'en faire un mais je ne sais pas trop si je suis sur le bon chemin ou pas, donc je vais vous montrer ce que j'ai fait.
Tout d'abord l'énoncé:

Montrer que l’ensemble est une surface au voisinage de l'origine et déterminer l'espace tangent à cette surface à l'origine.

Donc j'ai commencé à poser puis j'ai calculé sa jacobienne . Vu qu'on me demande au voisinage de l'origine est ce que je dois exprimer la jacobienne en 0 soit parce qu'à part dire que ce n'est pas nul je vois pas quoi dire. Parce que d'après le cours je dois montrer que la différentielle (soit donc la jacobienne) est de rang n-p et que (nu étant un voisinage de 0, je sais pas si je peux le marquer comme ça). Pour l'histoire du rang je ne sais pas si je dois prendre la jacobienne en 0 ou en x,y,z. Enfin plus j’écris plus je m'enfonce, je crois donc que je vais vous laisser la parole .

Ah! et une autre question tant que j'y suis. Dans une précédente discussion j'avais demandé si quelqu'un connaissait un ou des livre(s) traitant sur les fonctions implicites, théorème d'inversion locale et sous variétés de façon claire. Parce que pour tous ceux que j'ai lu, soit c'est de l'hebreu (du moins pour moi) soit il n'y a pas de corrections aux exercices (donc si on arrive pas à partir bonne chance).

En espérant que quelqu'un m'aide, merci d'avance.
-----

[Seirios]

Bonjour,

Il suffit de montrer que F est une submersion à l'origine.

[invite2f314551]

En cherchant j'avais déjà vu le terme de submersion sur plusieurs sites mais le problème c'est qu'on en a pas parlé en cours ou alors le prof n'a pas dit que ça s'appelait comme ça...

[invite2f314551]

J'ai regardé ce que ça voulait dire c'est tout bête il faut montrer que la fonction est surjective mais ça en général c'est pas très facile enfin je vais voir et je vous dirai. Merci de votre réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f314551]

Bon le prof a corrigé un exercice du même type et il suffisait en fait de montrer que la différentielle de DF(x,y) au point voulu était de rang maximum. J'en profite pour réitérer ma question sur le choix d'un livre pour m'aider. Merci d'avance

[Seirios]

Il n'y a pas vraiment de livre qui traite uniquement des sous-variétés de (ou en tout cas, je n'en connais pas), c'est un cas particulier d'une théorie plus vaste. Tu peux peut-être regarder le premier chapitre de Introduction aux variétés différentielles, de Jacques Lafontaine.

[invite179e6258]

il me semble que le livre de Michel Demazure "catastrophes et bifurcations" donne une présentation claire du théorème d'inversion locale, même si le sujet du livre n'est pas les sous-variétés.

[invite2f314551]

Je vous remercie de vos conseils de livre j'irai voir si je les trouve dès demain.
Sinon pour ce qui est des exercices, j'ai essayé d'en faire un autre mais je ne sais pas si j'ai juste:

Enoncé: soit l'application définie par . Pour quelles valeurs de , l'ensemble défini par l'équation est il une sous variété de ?

Ce que j'ai fait: Soit

Soit définie par
Cette fonction est comme fonction polynomiale.

De plus et

Si car sinon x et y seraient nuls, or on a donc le rang de la jacobienne est forcèment 1.

Comme et donc est une sous-variété de dimension 1 de

Après je ne sais pas si ce que j'ai fait suffit ou s'il faut préciser quelque chose pour le cas

[Seirios]

Le raisonnement est correct ; pour , tu devrais dessiner et regarder si cela peut être une sous-variété ou non.

[invite2f314551]

J'ai tracé sur wolfram et ça me donne un hyperboloïde. J'imagine que ce n'est pas une sous-variété, mais pourquoi je ne saurais pas le dire... Et puis j'aurais pas toujours wolfram sous la main

[Seirios]

L'ensemble est une hyperboloïde bien particulière, et il n'y a pas vraiment besoin de wolfram pour le représenter graphiquement.

[invite2f314551]

Ah bon, je n'aurais pas su le tracer honte à moi! Pourriez vous me dire comment il faut faire ou c'est trop dur par écrit ? Ou alors c'est comme avec une parabole en dimension 2, on le sait et puis c'est tout?

[Seirios]

Si on te demandait de résoudre l'équation , que dirais-tu ?

[invite2f314551]

J'y ai pensé mais ça fait

[Seirios]

Et géométriquement, que représente (et idem pour ) ?

[invite2f314551]

Une droite ... Mais je vois toujours pas

[Seirios]

Et bien ton ensemble est simplement deux droites qui s'intersectent à l'origine. Comme une sous-variété de de dimension 1 doit localement ressembler à une droite, te paraît-il possible que ton ensemble soit une telle sous-variété ?

[invite2f314551]

En 0 non mais sur un autre point oui. Est ce qu'on peut dire que c'est une sous variété de ?

[Seirios]

Ton ensemble n'est pas inclus dans , donc cela n'aurait pas vraiment de sens (et puis pour donner un sens à sous-variété de , il te faudrait connaître quelques éléments sur les variétés), ou alors il faut enlever l'origine, mais dans ce cas ce serait une sous-variété de .

[invite2f314551]

Ok! Bon et bien merci beaucoup pour votre temps