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Matrice d'application linéaire



  1. #1
    Bleyblue

    Matrice d'application linéaire


    ------

    Bonjour,

    Dans l'espace euclidien centré muni d'une base orthonormée j'ai un vecteur et je cherche la matrice de l'opérateur linéaire qui a tout vecteur fait correspondre le vecteur tel que :



    J'ai par définition :



    Mais pour écrire la matrice de l'opérateur j'ai besoin des composantes des vecteurs de base e1,e2,e3.

    Le fait que les vecteurs soient orthonormés cela veut bien dire que :

    e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) non ?

    merci

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : Matrice d'application linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Le fait que les vecteurs soient orthonormés cela veut bien dire que :

    e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) non ?
    Cela ne vient pas du fait que la base soit orthonormée ou pas, mais juste du fait qu'ici tu as exprimé les vecteurs de la base dans la base formée par ces même vecteurs.

    Quand tu écris e1 = (1,0,0), c'est la même chose que d'écrire e1 = e1, puisque dire que le vecteur u a pour composantes (a,b,c) dans la base (e1,e2,e3) signifie u=a.e1+b.e2+c.e3.

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Ah mais oui c'est idiot ...

    Du coup je détermine f(e1), f(e2), f(e3) et je trouve la matrice.

    Mais tiens trois vecteurs orthonormés dans IR³ ont toujours pour composantes (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (à l'ordre des vecteurs près) non ?
    Vu que orthonormé par définition cela veut dire "orthogonaux et de norme 1"

    merci

  5. #4
    matthias

    Re : Matrice d'application linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais tiens trois vecteurs orthonormés dans IR³ ont toujours pour composantes (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (à l'ordre des vecteurs près) non ?
    Vu que orthonormé par définition cela veut dire "orthogonaux et de norme 1"
    Tu reposes la même question en fait
    Si j'ai une base (e1,e2,e3) quelconque, pas nécessairement orthonormée, alors dans cette même base :
    e1 a pour composantes (1,0,0)
    e2 a pour composantes (0,1,0)
    e3 a pour composantes (0,0,1)

    On peut dire la même chose autrement : la matrice de passge de la base (e1,e2,e3) à la base (e1,e2,e3) est la matrice identité I3.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Ah oui j'avais bien comprit (mais tiens c'est amusant de voir que la matrice de passage est la matrice identité )

    Ah mais oui ... si je prends trois vecteurs orthonormés cela forme d'office une base de IR³, je n'y avais pas pensé.

    merci

  8. #6
    nissart7831

    Re : Matrice d'application linéaire

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais tiens trois vecteurs orthonormés dans IR³ ont toujours pour composantes (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (à l'ordre des vecteurs près) non ?
    Vu que orthonormé par définition cela veut dire "orthogonaux et de norme 1"
    Non, je crois que tu confonds plein de choses.

    Il existe une infinité de triplets de vecteurs orthonormés.
    Il suffit de prendre ton triplet et de le faire tourner (dans l'espace) autour de O (la base restant ton triplet de base). Les vecteurs résultants restent orthogonaux et de norme 1.

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  10. #7
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Ah oui bien vu je n'avais pas pensé à ça ...

    merci

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    J'ai un petit problème de confusion, on me donne un opérateur linéaire de IR³ tel que :

    f(1,0,0) = (1,-2,0)
    f(0,1,0) = (-1,1,1)
    f(0,0,1) = (1,0,0)

    donc la matrice de f dans la base canonique est :



    Okééé,maintenant on me demande d' écrire la matrice de f dans la base {(0,1,1), (-1,2,1), (1,1,-1) }

    Mais cette base, c'est la base "de départ" ou "d'arrivée ?"

    Parcequ'on pourrait bien avoir une application f qui va de IR³ muni de la base canonique vers IR³ muni de la base ci dessus ou bien l'inverse.

    Comment suis-je sensé savoir ?

    merci

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    S'il faut changer la base de départ alors je dois calculer f(0,1,1), f(-1,2,1), f(1,1,-1) )

    Par contre s'il faut changer la base d'arrivée alors je dois exprimer les vecteurs (1,-2,0), (-1,1,1) et (1,0,0) dans la nouvelle base.

    Ce sont deux choses différentes. Comment savoir ?

    merci

  13. #10
    GuYem

    Re : Matrice d'application linéaire

    Salut
    La matrice d'une application linéaire c'est dans une base tout court. Il n'y a pas une base de départ et une base d'arrivée.

    Celle que tu as écrite c'est la matrice de f dans la base canonique, ie les composantes de f(e1), f(e2), f(e3) dans la base e1, e2, e3.
    La matrice de f dans la base qu'on te donne, appelons la v1, v2, v3 ce sera les composantes de f(v1), f(v2), f(v3) dans la base v1, v2, v3.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Je vois

    Mais pourtant j'ai déja été confronté à des exercices ou après avoir trouvé la matrice de f: IR³ -> IR² dans la base canonique on me demandait : " munissons maintenant IR³ de la base (1,1), (1,2). Quelle est alors la matrice de f ?"

    Et il falait exprimer les vecteurs de la matrice obtenue dans la base canonique dans la base (1,1), (1,2).
    Ca n'aurait d'ailleurs aucun sens de caculer f((1,2)) vu qu'il s'agit d'une fonction de IR³ -> IR²

    merci

  15. #12
    GuYem

    Re : Matrice d'application linéaire

    ah je vois le problème.

    Alors disons que quand rien n'est précisé : "exprimez la matrice de f dans telle base", eh bien il faut mettre la même base au départ et à l'arrivée. Inutile de dire que cela ne se produira que pour une application linéaire d'un espace dans lui-même !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Citation Envoyé par Moi
    matrice de f: IR³ -> IR² dans la base canonique on me demandait : " munissons maintenant IR³ de la base (1,1), (1,2). Quelle est alors la matrice de f ?"
    Il falait comprendre IR² et non IR³ bien sûr.

    Citation Envoyé par Guyem
    Alors disons que quand rien n'est précisé : "exprimez la matrice de f dans telle base", eh bien il faut mettre la même base au départ et à l'arrivée. Inutile de dire que cela ne se produira que pour une application linéaire d'un espace dans lui-même !
    Ahhh, je comprends mieux alors

    merci !

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Donc en calculant f(0,1,1),f(-1,2,1),f(1,1,-1) on a changé les deux bases (d'arrivée et de départ ?)

    Moi je dirais uniquement celle de départ plutôt non ?

    merci

  19. #15
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Parce que maintenant si je reprend ma matrice de départ (message 8) et que j'exprime chaque vecteur dans la nouvelle base j'obtiens une matrice différente de celle que j'obtiens en calculant f(0,1,1), f(-1,2,1), f(1,1,-1) ...

    merci

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    La base d'arrivée reste la base canonique et celle de départ devient la base {(1,0,1), (1,-1,1), (1,2,-1) }

    C'est bien ça ?

    merci

  21. #17
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Non je me trompe

    Citation Envoyé par Guyem
    Alors disons que quand rien n'est précisé : "exprimez la matrice de f dans telle base", eh bien il faut mettre la même base au départ et à l'arrivée
    Oui c'est bien ça.

    merci

  22. #18
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    Il y a toujours un souci. Si je prends :



    Si je prends la matrice colonne formée des vecteurs (f(1,0)) et (f(0,1)) j'obtiens bien la matrice de f au départ de la base canonique vers la base canonique n'est ce pas ?

    Et si je prends la matrice colonne formée des vecteurs (f(-5,3)) et (f(7,-4)) j'obtiens quoi ça ?
    La matrice de f au départ de la base (-5,3), (7,-4) vers la base canonique ?
    Ou bien la matrice de f au départ de la base (-5,3), (7,-4) vers la base (-5,3),(7,-4) ?



    merci

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  24. #19
    Bleyblue

    Re : Matrice d'application linéaire

    C'est la matrice de f au départ de la base (-5,3), (7,-4) vers la base canonique.

    Cette fois j'ai bien compris, merci

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