Matrice symétrique & Endomorphismes symétriques

[invite0a45097e]

Bonsoir.
En cours nous avons abordé la notion d'endomorphismes symétriques.

Jusqu'à maintenant, on avait défini endomorphismes/matrices symétriques carrés d'ordre n par a_ij = a_ji pour tout i,j = 1...n. Donc en fait une matrice symétrique l'est dans une base en particulier. Si on change la base, l'endomorphisme peut ne plus être symétrique.

Aujourd'hui nous avons vu qu'un endomorphismes est symétrique si P( Ax, y) = P( x, Ay) pour tout x,y dans (E,P) espace euclidien avec P un produit scalaire défini sur E.

Ma question est la suivante : Pourquoi la seconde définition de la symétrie n'inclut t' elle pas la notion de base ?
J' ai pu faire un rapide calcul en prenant une matrice carrée d'ordre 3 symétrique dans la base canonique et m'apercevoir qu'en changeant de base la dite matrice n'était plus symétrique (A différente de sa transposée). Pourtant la seconde définition laisse penser que la symétrie d'une matrice n'a aucun rapport avec la base mais à tout avoir avec le produit scalaire.

Je suis confus. Si quelqu'un peut bien m'éclairer je l'en remercie d'avance.

Bonne soirée.
-----

[Seirios]

Bonsoir,

En fait, si A est une endormorphisme symétrique, alors sa matrice est symétrique dans toute base orthogonale. En effet, si est une telle base, . Donc on retrouve bien que la propriété d'être symétrique dépend bien du produit scalaire plutôt que de la base en elle-même.

[invite0a45097e]

La deuxième égalité n'est elle pas vraie que si A est déjà symétrique ?

[Seirios]

Ici, j'ai A noté un endomorphisme et non une matrice. Il est vrai que cette notation n'est pas très heureuse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a45097e]

Ah j'ai compris ! Merci Seirios.
Donc en fait l'étude des endomorphismes symétriques ne se fait généralement que dans des bases orthonormales alors ?

[Seirios]

En fait, on a même mieux : il existe une base orthonormée dans laquelle un endomorphisme est diagonalisable (et la matrice de passage est une matrice orthogonale).