Espace de Hilbert et théorème de Riesz

inviteabe6341d · 08/12/2012, 15h44

Bonjour,
$\text{[math]}$ . On pose $\text{[math]}$

On définit le produit scalaire $\text{[math]}$
j' ai montré que l’application ( , ) est un produit scalaire et que $\text{[math]}$ muni de ce produit scalaire est un
espace de Hilbert.
Et maintenant il me reste cette question
Montrer que la boule unité fermée de $\text{[math]}$ est compacte de dans $\text{[math]}$
Je ne comprend pas bien cette question parce que le théorème de Riesz qui dit que d'un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte. Et comme ici $\text{[math]}$ n'est pas fini(?) donc ne peux pas être compact(?).

**Seirios** · 08/12/2012, 15h50

Bonjour,

La boule unité fermée de $\text{[math]}$ pour la norme de $\text{[math]}$ n'est effectivement pas compact, mais tu ne sais a priori rien sur celle pour la norme de $\text{[math]}$ .

inviteabe6341d · 08/12/2012, 16h52

Bonjour,
Excusez moi c'est $\text{[math]}$ Au lieu de $\text{[math]}$ .

Mais n'est ce pas la dimension de $\text{[math]}$ est infini?

**Seirios** · 08/12/2012, 17h22

La dimension de $\text{[math]}$ est bien infinie, il suffit de regarder les suites à support fini.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteea028771 · 08/12/2012, 20h34

Ici tu cherche à étudier la compacité par rapport à la topologie de l^2 de la boule unité pour la norme h^1 : ce sont deux topologies différentes.

La boule unité de h^1 n'est pas compacte pour la norme h^1, mais on ne sait à priori rien sur sa compacité pour la norme l^2 (elle est en effet différente de la boule unité de l^2)

inviteabe6341d · 08/12/2012, 20h40

OK merci je n'avais pas fais attention sur les topologies. je vais essayer avec d'autres méthodes.

invitef3414c56 · 09/12/2012, 10h30

Bonjour,

Je crois (sauf erreur...) qu'une méthode est de démontrer pré-compacte.

Soit donc $\text{[math]}$ considérée comme partie de $\text{[math]}$ .
1) On montre que A est fermée dans $\text{[math]}$ , pour cela, prendre une suite $\text{[math]}$ qui converge dans l^2 vers $\text{[math]}$ ; écrivez que $\text{[math]}$ est dans A, tronquez à un ordre $N$, passez à la limite si $\text{[math]}$ (car si n est fixé, $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ ), et en conclure en faisant tendre $N$ vers l'infini que $\text{[math]}$ . Donc $A$ est complète.

2) Soit e>0, et N un entier tel que $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ l'ensemble des tronquées des éléments de A: $\text{[math]}$ . On peut considérer $\text{[math]}$ comme une partie de $\text{[math]}$ avec la norme l^2. Alors $\text{[math]}$ est une partie bornée de cet espace de dimension finie, donc pré-compacte. Il existe des $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ tels que pour tout y dans $\text{[math]}$ , il existe j avec $\text{[math]}$ .

On définit $\text{[math]}$ en posant $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ sinon.

Soit maintenant $\text{[math]}$ . Soit y la tronquée de x. Il existe j tel que $\text{[math]}$ . On a $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ pour tout $n$. Donc $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .

Cordialement.

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