théorème de Riesz

[Snowey]

Bonjour,
je cherche à démontrer le lemme de Riesz, selon lequel si la boule unité fermée d'un evn E est compacte alors E est de dimension finie (la réciproque me semble triviale, puisque en dimension finie dans un espace vectoriel normé, compact=fermé+borné ).
J'y arrive pas du tout -_-. Bref.

Lemme: Si F est un sev fermé de E, alors quel que soit , il existe un vecteur de la sphère unité tel que.

Ma vision est trop euclidienne et de dimension finie pour que mes dessins me permettent de visualiser le contexte !
On est invité à se ramener à l'étude sur la sphère S, et on remarque par exemple que :
- est un ouvert
- est continue car 1 lipschitzienne
... J'ai essayé en adoptant le point de vue "continuité et images réciproques", et à peu près tout ce qui me passait dans la tête, en vain :/
Quel point de vue est-il ici naturel d'adopter ? (ne me donnez pas la réponse du lemme s'il vous plait)

Quant à la conclusion (le théorème), j'ai aussi du mal: Grace à l'hypothèse de compacité de la boule unité fermée et le résultat précédent, on peut par exemple trouver, quel que soit le sev fermé de E, un point de la sphère tel que (ce qui maximise la distance car évidemment 0 est dans F).
Par ailleurs, j'ai voulu introduire une famille libre de vecteurs, et il faudrait montrer que n est borné.
Mais ce n'est pas mieux !


Merci d'avance pour vos conseils quant à mes pistes de refléxions.

Snowey


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[Seirios]

Bonsoir,

Pour la conclusion, le lemme te permet de construire, en dimension infinie, une suite dans la boule unitaire telle que pour .

Pour le lemme en lui-même, la démonstration que je connais consiste à prendre un point quelconque , et de construire à partir d'un tel x un point tel que et ; l'argument clef est que F est fermé, et donc .

[Seirios]

Juste une remarque sur ce résultat : un corollaire immédiat est que dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, les compacts sont d'intérieur vide. Autrement dit, comparée à la dimension finie, il y a assez "peu" de compacts et ils sont généralement peu pratiques. C'est pourquoi on définit usuellement (en analyse fonctionnelle) d'autres topologies sur les espaces vectoriels normés, pour augmenter le nombre de parties compactes (ce qui est pratique notamment pour résoudre des problèmes d'optimisation) ; on peut par exemple introduire les topologies faible et faible*.

[Snowey]

D'accord, je crois apercevoir le résultat
Pour le lemme (oui en effet fermé permet d'assurer cette condition, qu'on sent bien centrale), j'avais aussi essayé de faire quelque chose de similaire, mais en me cantonnant à la sphère ... :/
Je vais donc regarder dans la boule.

Ok, je n'avais pas pensé que la contraposée était plus simple, puisque pour conclure que la boule unité fermée n'est pas compact, il suffit d'en extraire une suite qui ne peut être de Cauchy (, et donc qui n'admet aucune valeur d'adhérence ! )

Quel idiot ...
Saurais-je un jour faire des maths ? (Pourtant j'adore ça ...)

En tout cas merci (et aussi pour le commentaire instructif),

Et surement à bientôt (vu que je ne sais faire aucun exo ou presque ...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Snowey]

Merci beaucoup Seirios
Il se trouve que le lendemain, mon prof l'a corrigé !!
Bref ...
j'ai un autre exo de topologie sur lequel j'aimerai un petit coup de pouce, et comme il vient juste après celui qui démontre ce théorème, peut être qu'il y a un lien (je ne pense pas, mais sait on jamais):

Soit E un espace de Banach, A une partie. Montrer que A est compacte si et seulement si A est fermée, bornée et "elle se concentre autour d'un espace vectoriel de dimension finie" au sens suivant: . (F ev de dimension finie).

Voici le sens que j'ai réussi à traiter:
Si on suppose que A est compacte, alors A est fermée, bornée (ok), et de plus elle est précompacte. Donc quelle que soit la précision que l'on se donne, il existe tels que des boules recouvrent A id est . il suffit alors de considérer l'espace vectoriel engendré par les N points choisis pour avoir la troisième propriété.

Réciproquement, je dois montrer que A est compacte lorsqu'elle les vérifie... je bloque un peu, auriez vous un petit coup de pouce à me donner ? (puis je dire que A fermée dans E complet donc A complète, puis essayer de montrer qu'elle est précompacte, ou bien je peux opter pour l'approche séquentielle, qui est à mon avis meilleure mais bon ... ?)

merci d'avance !

[Seirios]

Montrer la précompacité de A me semble être une bonne idée : En notant (qui est fermé), tu peux montrer que est compact, et a fortiori précompact, ce qui va te donner un nombre fini de points dont les boules de rayon vont recouvrir dans (pour la norme induite), et donc dans E puisque .