Analyse topologie

[invitefa187053]

Bonjour , j'ai besoin d'aide sur un exercice que j'arrive vraiment pas à comprendre meme avec la correction
alors : on nous demande de demontrer que l'application Re(z ) de C dans R est continue , donc pour ca je n'ai pas de soucis .
ensuite là ou je bloque : soit A l'ensemble des nombres complexes z tel que -1 =< Re(z) =< 1 ,
soit A' celui des nombres complexes z tel que -1 <Re(z) < 1
demontrer que A est fermé et que A' est ouvert ?
je vous serai vraiment redevable de mexpliquer comment resoudre ça !! car la j'ai la correction du prof mais je ne comprend pas
-----

[gg0]

Bonjour.

Une des définitions de la continuité d'une application est
"f : A-->B est continue si, pour tout ouvert O de B, f^-1(O) est ouvert".
Si tu n'as pas cette définition, tu as probablement cette propriété comme théorème :
"Si f : A-->B est continue, alors pour tout ouvert O de B, f^-1(O) est ouvert".
avec son corollaire :
"Si f : A-->B est continue, alors pour tout fermé F de B, f^-1(F) est fermé".

Cordialement.

NB : Au besoin, tu peux faire une démonstration sans ça, mais je ne peux t'aider qu'avec ta définition de "continue".

[invite0a45097e]

Salut.
En effet, la première question de l'exercice se référant à la continuité de ton application indique que la question se résout comme l'a dit gg0.
Que dis ta correction du prof au fait ?

[invitefa187053]

en tout premier , merci pour une reponse aussi rapide mais je ne comprend pas vraiment
pour la 1ere question que jai resolu voila ce que j'ai fait :
donc je dis f: C ->R est continue en a appartient a C ssi toute suite Zn de C converge vers a verifie

lim F(Zn) = f(a ) pr n tend vers linfini , donc soit a appartient a C et Zn (n appartient a N ) suite dans C converge vers a on a alors : quelque soit epsilone > 0 , il existe n0 appartient a N tq quelque soit n>n0 on a :

l Zn-a l < epsilone

or l Zn-a l = sqrt ( Re(Zn-a)²+ im (Zn-a)²)

et : sqrt( Re( Zn-a)²) =< sqrt ( Re(Zn-a)²+Im (Zn-a)² ) = lZn-a l

on a donc montré que sqrt ( Re( Zn-a)²) = l Re(Zn) - Re (a )l =< lZn-a l

donc l Re(zn) - Re(a) l =< epsilone DONC la suite f(zn) converge vers f(a) et donc f est continue en a
ce raisonnement est valable quelque soit a appartient a C don l'application est continue sur C !

en ce qui concerne l'autre question voila la correction du prof que je comprend pas :
A' = ( z , -1=< Re(z) =< 1)
A' ouvert , a=x+iy , Re(a) =x
a appartient ( z, -1 =< re(z) =< 1 ) = A'
on cherche r > 0 , Br (a) inclus A'
l z-a l < r == > z' appartient a A'
Br(a) =(z, lz-al <r)
l Re(z)-Re(a)l / lz-al =< 1
si lz-al < r ==> l Re (z) - Re(a ) l < r
r = [min (x+1,1-x)] / 2 < (x+1, 1-x ) ( specialement cette ligne que je ne comprend pas et ce qui suit )
l Re(z) - x l < r
x-r < Re(z) < x+r
x -x -1 < Re(z) < x+ 1-x
-1 < re(z) < 1
donc A' ouvert !!! ( je comprend rien )

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

L'idée utilisée par ton prof est que'une partie P de C est ouverte si quel que soit x de P, l'ensemble des z de C tels que |z-x|< epsilon (*) est entièrement contenu dans P pour epsilon suffisamment petit mais non nul.
Il prend donc un x dans A' et cherche le epsilon correspondant. Si tu fais un dessin, c'est simple : A' est la partie du plan contenue entre deux droites verticales, droites non comprises. Et le chois du epsilon s'éclaire.

Cordialement.

(*) C'est un disque centré en x.

NB : Tu n'as toujours pas dit ce qu'est un ouvert !

[invite0a45097e]

Bon personnellement, je ne comprends pas vraiment la rédaction.
1) A' = ( z , -1=< Re(z) =< 1)
A' ici dans la correction du prof n'est pas un ouvert mais un fermé car le signe n'est pas strict (comme dans ton premier post ou là ça m'avait l'air correct).

2) l z-a l < r == > z' appartient a A'
qui est z' ? erreur de rédaction ?

3) ton prof utilise la définition de l'ouvert pour montrer que A' est un ouvert. Pour cela il prend un élément a de A' et montre qu'il existe une boule de rayon r > 0 autour de lui qui est elle même incluse dans A'.
Tu as donc deux cas : si Re(a) > 0 et si Re(a) < 0 avec | Re(a) | < 1. En faisant un dessin comme te l'a suggéré gg0 le choix de r (epsilon pour gg0) devient évident.

[invitefa187053]

le prof s'arrete la , il en conclue que c'est ouvert !!
je comprend a peu prés ce que vous voulez dire mais je ne comprend toujour pas la
r= min (x+1, 1-x) / 2 < (x+1, 1-x) que represente cette ligne ??
et comment on aboutit de cette ligne l Re(z) -x l < r a ==> x-r < Re(z) < x+r
je suis vraiment perdue je n'arrive pas a imaginer la chose !!

[invite0a45097e]

Fais un dessin.
Si a appartient à A' alors sa distance à la droite x=1 est 1-x et sa distance à la droite x=-1 est x+1.
Donc si x = Re(a) > 0 on a x+1 > 1-x regarde ces deux lignes en terme de distance comme je l'ai écrit plus haut
si x < 0 on a 1-x > x+1

En prenant donc r = min(1-x, x+1) / 2 on est sur certains, peu importe la valeur de x que notre boule est encore incluse dans A'. C'est ce que signifie la première ligne.
La seconde n'est que la définition de la valeur absolue.

[invitefa187053]

Ok super ca s'eclaircit je vais relire le cours et voir quelque exos sur le net pour mieux comprendre ,
effectivement pour votre remarque c'etait bien < et non pas =< desolée !!
merci infiniment pour votre aide a vous 2 .
bonne journée