bonsoir
je veux quelqu'un m'expliquer comment on utilise le polynôme minimal dans la diagonalisation des matrices et
qu'est ce que c'est un polynôme minimal et comment on le trouve ?
dans mon cours j'ai pas compris bien cette notion
et merci d'avance
Salut.
Alors de ce que j'ai pu comprendre et je serai reconnaissant à ceux qui apporteront leur compréhension car cette notion de polynôme minimal n'est pas très clair pour moi non plus ...
Le polynôme minimal est le plus petit polynôme (en terme de degré) qui annule A, ce qui veut dire que lorsque tu substitues X par ta matrice A ce polynôme s'annule. Et A est diagonalisable si et seulement si la multiplicité de chaque valeur propre ( qui sont les seules racines du polynôme minimal) est égale à 1. Si une seule des valeurs propres présente une multiplicité autre que 1 dans le polynôme minimal alors A n'est pas diagonalisable.
Pour le trouver , ça devient un peu plus chiant que le polynôme caractéristique. Parfois, après calculs, il y a plusieurs possibilités pour son expression et il faut toutes les essayer afin de le trouver parmi toutes ces propositions. Je ne peux pas te donner d'exemple concret maintenant mais tu le verras avec certains exercices.
Enfin il faut savoir que le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur de A (comme le polynôme caractéristique par exemple, théorème de Cayley-Hamilton). Ce qui est normal vu qu'ils ont exactement les mêmes racines et que le polynôme minimal est le plus petit d'entre eux.
En espérant t'avoir aider.
ok merciii maintenant j'ai une vue plus claire sur cette notion
