diagonalisation

[amal20]

bonsoir
j'ai un exo sur la diagonalisation de deux matrices sans calculer les éléments propres
et j'ai pensé à le polynome minimal mais je suis pas sure de ce que j'ai fait
la premiere matrice
1 2 3 14
0 1 5 7
0 0 2 7
0 0 0 2
J'ai trouvé le polynome caractéristique egale (1-X)^2 (2-X)^2
et le polynome minimal c'est la meme
donc A n'est pas diagonalisable puisque les racines de polynome minimal de multiplicité egale à 2
pour la deuxime matrice
1 0 0 0
4 2 0 0
0 0 5 -3
0 0 0 -2
le polynome caracteristique egale à (1-X) (2-X) (5-X) (-2-X)
est c'est aussi le polynome minimal
comme il est scindé dc la matrice diagonalisable
et merci d'avance
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[joel_5632]

bonjour

pour la 1ere matrice, comment fais tu pour déterminer que le polynome minimal est égal au polynome caractéristique ?

[amal20]

j'ai verifié est ce que (I-A)(2-A) annulle A j'ai touvé que non alors le polynome minimal vaut (1-x)^2 (2-x)^2

[DucK974]

il peut aussi valoir (X-1)²(X-2) ou (X-2)²(X-1) ... mais dans les deux cas non diagonalisables aussi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[amal20]

ah oui alors ce que j'ai fait est juste ?

[joel_5632]

tu as montré que (1-X)(2-X) n'est pas le polynome minimal

donc le polynome minimal est l'un des 3 suivants

(1-X)²(2-X)
(1-X)(2-X)²
(1-X)²(2-X)²

dans les 3 cas, A n'est pas diagonalisable

mais on ne sait pas lequel des 3 est le polynome minimal.

sauf erreur ...

[amal20]

ah oui l'important que A n'est pas diagonalisable dans les 3 cas