diagonalisation

[invite3d964c90]

dans un exercice de diagonalisation de matrices carrée on a A=((1,0,1),(1,2,-1),(-4,-3,3)) il est demandé de déterminer ses valeurs propres chose qui n'est pas difficile on trouve une seule valeur propre 2 donc la matrice n'est pas diagonalisable
dans la suite il demande de montrer que pour une constante h à determiner N=A-hI est nilpotente (N^3=0) c'est vérifié pour h=2
et la que je me plante il demande après de calculer A^n et de construire une base (u1,u2,u3) telle que Nu1=u2 et Nu2=u3 et finalement de dire que vaut Nu3

je vous remercie d'avance si vous pouvez me fournir des pistes pour résoudre cet exercice
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[God's Breath]

Bonjour,

Tout simplement : Nu₃=N.Nu₂=N²u₂=N².Nu₁=N³u₁=0.

[invite3d964c90]

désolé ça aurait était trop simple si c’était comme cela mais je me suis trompé en indiquant l’énoncé : en effet Nu2= e3 et non pas u3
déjà si vous pouvez m'orienter pour le calcule de A^n

[God's Breath]

Tout simplement : Aⁿ=(2I+N)ⁿ, et on développe par la formule de binôme.

Ensuite, on prouve que la construction de u₂ tel que Nu₂=e₃ est possible, puis que la construction de u₁ tel que Nu₁=u₂ est également possible.

On prouve que la famille (u₁,u₂) est libre, donc qu'on peut la compléter en une base (u₁,u₂,u₃).

On écrit la matrice de N dans la base (u₁,u₂,u₃) : la condition N³=0 impose la troisième colonne de la matrice, c'est-à-dire la valeur de Nu₃.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3d964c90]

merci pour ton aide ça ma trop éclairé pour le calcule de A^n
par contre pour la construction de la base je n'arrive pas;
j'ai pris u1 (x,y,z) mais impossible davoir la condition Nu2=e3 =>N^2u1=e3