diagonalisation
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diagonalisation



  1. #1
    invite3d964c90

    diagonalisation


    ------

    dans un exercice de diagonalisation de matrices carrée on a A=((1,0,1),(1,2,-1),(-4,-3,3)) il est demandé de déterminer ses valeurs propres chose qui n'est pas difficile on trouve une seule valeur propre 2 donc la matrice n'est pas diagonalisable
    dans la suite il demande de montrer que pour une constante h à determiner N=A-hI est nilpotente (N^3=0) c'est vérifié pour h=2
    et la que je me plante il demande après de calculer A^n et de construire une base (u1,u2,u3) telle que Nu1=u2 et Nu2=u3 et finalement de dire que vaut Nu3

    je vous remercie d'avance si vous pouvez me fournir des pistes pour résoudre cet exercice

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : diagonalisation

    Bonjour,

    Tout simplement : Nu3=N.Nu2=N2u2=N2.Nu1=N3u1=0.

  3. #3
    invite3d964c90

    Re : diagonalisation

    désolé ça aurait était trop simple si c’était comme cela mais je me suis trompé en indiquant l’énoncé : en effet Nu2= e3 et non pas u3
    déjà si vous pouvez m'orienter pour le calcule de A^n

  4. #4
    invite57a1e779

    Re : diagonalisation

    Tout simplement : An=(2I+N)n, et on développe par la formule de binôme.

    Ensuite, on prouve que la construction de u2 tel que Nu2=e3 est possible, puis que la construction de u1 tel que Nu1=u2 est également possible.

    On prouve que la famille (u1,u2) est libre, donc qu'on peut la compléter en une base (u1,u2,u3).

    On écrit la matrice de N dans la base (u1,u2,u3) : la condition N3=0 impose la troisième colonne de la matrice, c'est-à-dire la valeur de Nu3.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite3d964c90

    Re : diagonalisation

    merci pour ton aide ça ma trop éclairé pour le calcule de A^n
    par contre pour la construction de la base je n'arrive pas;
    j'ai pris u1 (x,y,z) mais impossible davoir la condition Nu2=e3 =>N^2u1=e3

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