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Irrationnel



  1. #1
    ABreton

    Irrationnel


    ------

    Bonsoir, je bloque à une premiere question d'un exercice.
    J'ai x0=a où a est un irrationnel positif.
    x(n+1) = 1 / ( x(n) - E(x(n)) )

    Je dois montrer que pour tout n > 0, x(n) est un irrationnel supérieur à 1.

    J'aimerais bien savoir si il y a une façon d'écrire un irrationnel ? Même si je pense que non..

    Sinon pour montrer que c'est supérieur à 1:
    x(n) = E(x(n)) + r avec r appartenant a [0,1[

    Donc x(n) - r = E(x(n))

    Donc x(n+1) = 1 / r qui est évidemment supérieur à 1

    Mais pour montrer que c'est un irrationnel je ne sais pas vraiment comment faire, je n'ai pas bien l'habitude de les utiliser.

    Merci

    -----

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  3. #2
    XMike_

    Re : Irrationnel

    Bonsoir,
    Tu peux peut-être le montrer par absurde.

  4. #3
    ABreton

    Re : Irrationnel

    Est-ce que la somme d'un irrationnel et d'un rationnel est toujours un irrationnel ?

    Si oui, par l'absurde je l'ai. Merci.

  5. #4
    DSCH

    Re : Irrationnel

    En effet, la somme (de même que le produit, etc.) de deux rationnels est un rationnel. Par contraposée, si en ajoutant un certain nombre à un rationnel, tu obtiens une somme irrationnelle, le nombre ajouté ne peut pas être rationnel.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ericcc

    Re : Irrationnel

    Pas besoin de passer par un raisonnement par l'absurde : la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un nombre irrationnel (cf argument de DSCH). L'inverse d'un irrationnel est également irrationnel (même type de raisonnement)
    ergo....

  8. #6
    breukin

    Re : Irrationnel

    Oui, mais à la base, les assertions relatives à la somme, le produit, le quotient d'un rationnel et d'un irrationnel ne se démontrent-elles pas par l'absurde ? (en supposant que si le résultat était rationnel, alors en fait, le prétendu irrationnel ne le serait pas)

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  10. #7
    ericcc

    Re : Irrationnel

    C'est une bonne question, qu'il faudrait adresser à Mediat je pense : existe-t-il une méthode constructiviste ou intuitionniste pour démontrer ces propositions ?

  11. #8
    ansset

    Re : Irrationnel

    je pense que celà peut se montrer en montrant que le produit , la somme etc , ne peut pas être solution d'un polynome de degré N pour tout N

  12. #9
    gg0

    Re : Irrationnel

    Bonjour.

    La différence de deux rationnels est un rationnel, donc :

    par contraposition :


    Cordialement.

    Nb : beaucoup de "preuves par l'absurde" ne sont que des contrapositions.

  13. #10
    DSCH

    Re : Irrationnel

    Il ne faut pas confondre un vrai raisonnement par l’absurde avec un simple raisonnement par contraposition…

    Ajout : message croisé avec celui de gg0.
    Dernière modification par DSCH ; 19/12/2012 à 15h26. Motif: message croisé
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  14. #11
    ericcc

    Re : Irrationnel

    La contraposition n'est pas acceptée dans la logique constructive : http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_constructive

  15. #12
    gg0

    Re : Irrationnel

    Je ne m'étais pas placé dans une perspective constructiviste. D'autant qu'alors il n'est pas évident qu'un non irrationnel est rationnel.

    Cordialement.

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