Démontrer que log10(5) n'est pas rationnel

[invite7763d544]

Salut à tous !!
Alors, j'ai essayé de faire cet exercice:
Démontrer que log10(5) n'est pas rationnel.
Mais je me trouve bloquer, voici ma solution :
Montrons que log10(5) n'est pas rationnel par une démonstration par l'absurde, on suppose que log10(5) est rationnel, c'est-à-dire que:
log10(5)=a/b ; a appartient à ℤ, b appartient à ℤ* et a et b sont premiers entre-eux
On a: log10(5)=log5/log10=ln5/ln10 ; log10>log5>0 et 0<log10(5)<1
ln5/ln10=a/b ; b>a>0 ⇒ b-a>0 et 0<a/b<1
b.ln5=a.ln10
ln5^b=ln10^a
5^b=10^a
5^b=5^a.2^a
5^b/5^a=2^a
5^b-a=2^a
...
Je ne sais pas comment utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers pour continuer , s'il vous plaît aidez-moi !!
Merci beaucoup pour votre temps !!
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[Tryss]

Edit : bizarre...

[invite7763d544]

@Tryss: Merci quand même.

Je l'ai trouvé maintenant:
5^(b-a)=2^a
Cela est impossible car 5 et 2 sont premiers entre-eux: aucun multiple de 2 est divisible par 5.
Alors log(10)5 est irrationnel.
Est-ce exact?

[Jeanpaul]

C'est juste. Tu peux d'ailleurs généraliser.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7763d544]

Merci beaucoup pour ta réponse !!! Parlant de généralisation, est-ce que je peux utiliser cette manière pour démontrer que log3(p) n'est pas rationnel?

[Jeanpaul]

Tu devrais pouvoir montrer que les seuls entiers dont le logarithme est rationnel sont les puissances de 10. Quand tu seras devenu un expert, tu pourras montrer que les seuls nombres dont le logarithme n'est pas transcendant sont les puissances de 10 à une puissance rationnelle.

[invite7763d544]

Merci pour l'information!