Démontrer qu'un nombre est irrationnel

[invite7763d544]

Bonjour a tous !!
Ceci est mon premier message ici !!
J'ai essayé de faire l'exercice suivant:

Démontrer que ⁿ(racine de p) n'est pas rationnel (p étant premier et n>1).

J'ai utilisé la même manière concernant (racine carré de 2), mais ça ne marche pas .
Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider à résoudre cet exercice, ou juste de me montrer comment commencer!!
Votre aide sera très utile, et merci d'avance !!
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[inviteea028771]

Si ce nombre est rationnel de la forme a/b, alors

racine(p) = a^n/b^n , donc racine(p) serrait rationnel.

On peut montrer que racine(p) est irrationnel, et on conclu par contraposée

[invite7763d544]

Merci pour votre réponse , je pense que c'est plus claire maintenant!!

[invite7763d544]

Voici ce que J'ai récapitulé jusqu'à maintenant:
S'il vous plaît prendre un coup d'oeil et dites-moi si je me trompe ou non.

Montrons que (racine n-ième de p) n'est pas rationnel par une démonstration par l'absurde, on suppose que (racine n-ième de p) est rationnel, c'est-à-dire que:
(racine n-ième de p)=a/b /a appartient à Z, b appartient à Z* et a et b sont premiers entre-eux
(racine n-ième de p)n=(a/b)n
p=an/bn
an=bn.p ...(*)
Alors an est divisible par p, d'ou a est aussi divisible par p, donc a peut s'écrire sous la forme:
a=p.k /k appartient à Z
an=pn.kn
D'après la relation (*):
pn.kn=bn.p
pn-1.kn=bn
Comme pn-1 est divisible par p, alors bn est divisible par p, d'ou b est aussi divisible par p.
Ceci contredit le fait que a et b sont premiers entre-eux, d'ou l'hypothèse "(racine n-ième de p) est rationnel" est fausse, c'est-à-dire que (racine n-ième de p) est irrationnel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Démontrer que ⁿ(racine de p) n'est pas rationnel (p étant premier et n>1).

C'est une question d'une épreuve du CAPES de maths de cette année.
Et la réponse vous a été donnée http://www.les-mathematiques.net/pho...718#msg-801718 puisqu'on vous indique un fil qui contient un corrigé de toute l'épreuve.

@+

[invite7763d544]

Merci d'indiquer ce lien, même si j'ai vu cette correction, mais je ne pouvais pas la comprendre clairement.
Alors je suis arrivé avec cette solution ici, et j'aimerais savoir si c'est vrai ou non.

[invite51d17075]

on peut même montrer que toute racine n-ième est soit un entier soit un irrationnel.
demo de Mediat ici suite à une question de ma part, mais je ne sais plus ou.

[inviteea028771]

on peut même montrer que toute racine n-ième est soit un entier soit un irrationnel.
demo de Mediat ici suite à une question de ma part, mais je ne sais plus ou.

En fait on a quelque chose du genre q^n = a^n/b^n = k, avec a et b premiers entre eux, ce qui implique que b=1 (sinon b^n divise a^n, donc a et b ont au moins un facteur premier en commun, donc ne sont pas premiers entre eux), et donc q est entier

[invite179e6258]

on peut même montrer que toute racine n-ième est soit un entier soit un irrationnel.
demo de Mediat ici suite à une question de ma part, mais je ne sais plus ou.

ça doit pas être ça, parce que la racine carrée positive de 1/4 est 1/2 qui n'est ni entier ni irrationnel.

[Médiat]

Bonjour,

Je ne me souviens pas avoir posté cette démonstration, mais en tout état de cause il s'agit de :

toute racine n-ième d'un entier est soit un entier soit un irrationnel.

La démonstration est dans le message #8 de Tryss

[invite7763d544]

Merci à tous de me répondre !!

[invite51d17075]

oui, Mediat , "d'un entier forcement". !
c'était d'ailleurs ma question de l'époque.
je me demande si ce n'était dans un autre fil !
aucune importance, mais j'avais aprécié la demo, qui ne tenait pas compte du fait que n soit premier ou pas..