Groupe symétrique, hyperplan, droite vectorielle

[invite7ec123bc]

Bonjour,

Soit un - espace vectoriel muni d'une base . On note le groupe symétrique d'ordre n. Pour , on note l'endomorphisme défini par . On note , D la droite vectorielle engendrée par s, H l'hyperplan d'équation et l'ensemble des sous-espaces vectoriels F de E tels que :



J'ai dans les questions précédentes obtenu les résultats suivants:

et

D et H sont supplémentaires dans E.

Le projecteur p sur D parallèlement à H est donné par la formule:



Je bute sur la question suivante :

1) Soit tel que F n'est pas inclus dans D. Montrer .


Je ne vois pas par où commencer pour cette question. J'ai essayé d'utiliser le fait que D et H sont supplémentaires dans E sans succès. Une aide? Merci. Bonnes fêtes .
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[invitef3414c56]

Bonjour,
On devrait sauf erreur pouvoir faire comme ceci. Il existe qui n'est pas dans D. Ceci veut dire simplement que tous les y_k ne sont pas égaux : il existe i_0 et j_0 distincts tels que .

Soit $\sigma$ la transposition qui envoie i_0 sur j_0. On calcule , qui est dans F et est un multiple non nul de , qui est donc dans F. Soit j différent de i_0, de j_0 et $\tau$ la transposition qui envoie $j_0$ sur $j$. On a , qui est donc dans F également. Mais les , forment une base de H, et donc .
Cordialement.

[invitef3414c56]

Dans l'avant dernière ligne, il faut lire

[invite7ec123bc]

Merci Jedoniuor . Une dernière question. Je dois en déduire ensuite que . Le fait que sont dans est clair. Mais je n'arrive pas à prouver que ce sont les seuls ensembles de . J'essaye de partir de et de montrer que est égal à D ou H ou E, mais je n'arrive pas à avancer.

As-tu une idée?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3414c56]

Si F est différent de {0}, de D et de H, le seul cas qui reste est avec F différent de H. Regardez la dimension de F.

[invite7ec123bc]

Merci encore Jedonior .

Si . La dimension de F peut prendre 2 valeurs n - 1 (celle de H) et n (celle de E). On a alors par théorème si ou si