loi exponentielle

[kaderben]

Bonjour
Je suis un peu perdu dans le chapitre " loi exponentielle, durée de vie sans vieillissement"

Soit X variable aléatoire qui mesure la durée de vie sans vieillissement d'un composant électronique et X suit une loi exponentielle de paramètre L

On sait que la densité associée à X est f(t) = L*exp(-L*t) dont une primitive est F(t) = -exp(-L*t)
t dans [0;infini]

Ma question est la suivante: On considère un instant t, que mesure X dans les cas suivants:
a) X <= t
b) X > t

Je sais que ces deux événements sont contraires mais comment les écrire d'une façon simple en français !

Merci pour vos commentaires.
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[albanxiii]

]Bonjour,

La fonction de répartition est , donc ?

Donc
a) le composant claque avant ou juste au temps
b) le composant claque après le temps
Si j'ai bien compris la définition de .

@+

[kaderben]

Oui c'est ça la définition de X
J'ai oublié l'événement a <= x <= b avec a et b dans [0;infini]
le composant claque avant ou juste au temps a Et le composant claque après le temps b
est ce que cela veut dire que le composant fonctionne dans l'intervalle [a;b] ?

[gg0]

Bonjour.

Comme X est la durée de vie, l'interprétation est évidente :
X<=a : la durée de vie est au plus égale à a.
a <= X <= b : la durée de vie est comprise entre a et b.

Pas la peine de se compliquer la vie !

Cordialement.

NB : En général, F(t) est la fonction de répartition qui n'est pas -exp(-L*t). -exp(-L*t) est parfois noté R(t) car il s'interprète comme la proportion de composants encore en fonctionnement (R pour reste) au moment t.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

En tout cas j'ai écrit une énormité dans mon message précédent:"le composant claque avant ou juste au temps a Et le composant claque après le temps b "

C'est moi qui ai rédigé le texte de mon premier message, en disant que X mesure la durée de vie, mais je n'en sais rien ci cela est officiel, c'est à dire si c'est la définition de la loi exponentielle.

[invite179e6258]

salut,

tu peux introduire la loi exponentielle comme tu as fait : en donnant sa densité, et ensuite montrer que le loi de X-a sachant X>a est la même que la loi de X, ce qui est bien l'idée de non-vieillissement (X-a est le temps restant à vivre si on est vivant au temps a).

Mais tu peux aussi prendre le chemin inverse, qui est celui que prendrait un physicien, et dire que s'il n'y a pas de vieillissement, la probabilité de mourir dans l'intervalle [t,t+h] sachant qu'on est vivant au temps t : P(X<=t+h|X>=t) ne dépend pas de t. Tu poses l'existence d'une constante L telle que P(X<=t+h|X>=t)=Lh+o(h) et tu montres que la densité de la loi de X en x est L exp(-Lx)

[kaderben]

(X<=t+h|X>=t)=Lh+o(h) n'est au programme de terminale, par contre P(X>=t+h|X>=t) = P( X >= h) ne dépend pas de t, oui c'est au programme.

[kaderben]

bonjour
Voici un exo sur les durées de vie de dipositifs electroniques

On considere un dispositif D formé par un élément n°1 en parallèle avec deux éléments en série n°2 et n°3.
X indique le temps d'attente de la première panne d'un élément. La probabilité qu'un élément n'a pas subi de panne entre 0 et t est exp(-t).
Y indique le temps d'attente de la première panne globale sur le dispositif D.

1°) Déterminer l'événement Y<= t en fonction des événement X1<=t , X2<=t et X3<=t
puis P(Y <= t )
2°) montrer que Y admet une densité f que l'on précisera.

Réponses
(Y<= t) = (X1<=t) inter [( X2<=t) U ( X3<=t)]
On sait que P(X>t) = exp(-t)
1°) P(Y<= t) = P(X1<=t) inter P[( X2<=t) U ( X3<=t)] = (1-exp(-t)*[(1-exp(-t) + (1-exp(-t) -(1-exp(-t)*(1-exp(-t)] car les événements sont indépendants
Au final P(Y<= t) = 1 - exp(-t) - exp(-2t) + exp(-3t)
2°) lim( 1 - exp(-t) - 2exp(-2t) + exp(-3t) ) = 1 en infini, mais je ne sais pas si suffisant ou non
La dérivée de 1 - exp(-t) - exp(-2t) + exp(-3t) est exp(-t) + 2exp(-2t) -3 exp(-3t)
donc la densité f es f(t)= exp(-t) + 2exp(-2t) -3 exp(-3t)

Merci pour vos commentaires

[gg0]

Ok,

avec le complément que cette densité est sur .

Cordialement.