Bonjour les amis
Je suis bloqué dans cet exo et j'ai besoin de votre pour débloquer la situation
Dans l'espace vectoriel de degré, on considère l'application f définie par:
f(P(x))= 2P(x)-(x-1)P'(x) où P'(x) est la derivée de P(x)
1°) Montrer que f est un endomorphisme de
2°) Determiner son image et son noyau et leurs dimension
Dernière modification par Médiat ; 01/01/2013 à 18h51. Motif: Latex
Bonjour les amis
Je suis bloqué dans cet exo et j'ai besoin de votre pour débloquer la situation
Dans l'espace vectoriel de degré inférieur ou égal à 3, P3(x), on considère l'application f définie par:
f(P(x))= 2P(x)-(x-1)P'(x) où P'(x) est la derivée de P(x)
1°) Montrer que f est un endomorphisme de P3(x)
2°) Determiner son image et son noyau et leurs dimension
Bonjour,
Qu'as-tu fait pour l'instant ? J'imagine que tu as déjà dû résoudre la premère question. Pour déterminer l'image d'un endomorphisme, il suffit de regarder l'image d'une base.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Je ne suis pas sûr, Serios,
il n'a pas réussi à copier correctement la définition de l'espace vectoriel ...
Cordialement.
Très drole mais j'ai fait la première questionEnvoyé par gg0
Je ne suis pas sûr, Serios,
il n'a pas réussi à copier correctement la définition de l'espace vectoriel ...
Cordialement.
J'ai fait soit A et B deux éléments quelconques de P3(x)
Puis j'ai démontré que f(A(x)+B(x)) = f(A(x))+f(B(x))
Aussi J'ai démontré que f(λ(A(x)) = λf(A(x))
Donc f est linéaire
Puis j'ai posé P(x) = ax^3 + bx² + cx + d appartenant à P3
Puis j'ai devoloppé l'expression 2P(x)-(x-1)P'(x)
Ensuite j'ai trouvé un polynome de degré 3 donc f(A(x)) appartient à P3. Ce qui prouve qu'on a une application de P3 dans P3 -----> endomorphisme
Mais Je bloque sur le noyau et l'image
Qu'est ce que tu en penses?
Bon,
il aurait mieux valu commencer par montrer que "f(A(x)) appartient à P3", donc que f est bien définie avant de prouver la linéarité. On devrait plutôt écrire f(A)(x) car f s'applique aux polynômes.
Pour trouver le noyau, il te suffit de regarder quand f(A)(x) est le polynôme nul. On trouve une droite vectorielle.
Pour l'image, tu verras que trois coefficients suffisent à donner un f(A), tu peux en déduire qu'avec trois polynômes bien choisis, tu engendres Im(f).
Si tu connais déjà le théorème du rang, ce ne sera pas une surprise.
Bon travail !
Bonjour,
Merci pour ton aide
pour le noyau j'ai fait, j'ai eu f(A)(x) = 0 ------> a = 0 et c = 2b et d = b
Donc Ker = Ensemble des polynomes A (x) = ax^3 + bx² + cx + d appartenant à P3 tel que a = 0 et c = 2b et d = b avec b apparient à R
Donc A(x) = bx²-2bx+b
C'est juste?
c = -2b
Donc j'ai Kerf = b(x²-2x+1) avec b appartenant à R
On a un sev de dimension 1
C'est ça??
Pour l'image jusqu'à présent je bloque
J'ai essayé de chercher l'image, corrige moi si je me trompe:
Soit W = Fx^3 + Gx² + Hx + I
On a Im f = ensemble W appartenant à P3 tel que W = f(A)(x)
Puis j'ai trouvé
W = -ax^3 + 3ax² + 2(b+c)x + 2d + c = a(x^3 + x²) + 2(b+c)x + 2d +c
Donc on a un sev de degré 3?
D'accord pour le Ker,
même si "Kerf = b(x²-2x+1) " n'aurait jamais dû être écrit. Si tu ne prends pas le temps d'écrire clairement, donc de bien comprendre, comment apprendras-tu à savoir si tu raisonnes correctement ou pas.
Don à reprendre et écrire correctement.
Pour l'image, je ne sais pas pourquoi tu dis que c'est de dimension 3. Donc ce que tu as fait n'est pas fini !!
Cordialement.
