Borne inférieure / densité

[invitefc342db7]

Bonsoir, j'ai un petit soucis, pour arriver à faire une question.

On étudie un sous groupe A de (R, +)

On sait que 0 = inf A⁺

Je dois montrer que x,y A, x < y, il existe u A et n Z / x n*u y. Et en déduire que A est dense dans R

On peut tout de suite écrire avec la caractérisation de la borne inférieure que:
E > 0, il existe u A / u < E

Donc on a: 0 u < E
Et on veut... x n*u y

Je pourrais multiplier 0 u < E par n mais je vais obtenir du:
0 n*u E' avec E' = E*n
Et je ne sais pas comment faire apparaitre ce " x A, x ... "

Je n'ai pas encore fait la leçon sur les sous-groupes, ou autre, donc je n'ai aucun théorème à disposition. Je sais qu'il faut que j'arrive ensuite à quelque chose de la forme | x - n*u | < E
Merci.
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[Médiat]

Bonjour,

Je vous donne un indice : si inf(A⁺) = 0, cela veut dire qu'il existe dans A⁺ des éléments aussi petits que l'on veut, en particulier des éléments plus petits que y-x (qui est strictement positif)

[invitefc342db7]

Merci pour la réponse.

Si on prend E = y - x

0 < u < y - x
x < u + x < y

La le top ca serait que x A comme ça on peut dire que u + x A mais ce n'est pas le cas.

J'ai essayé des manières différentes mais je retrouve toujours ce problème et je ne vois pas comment m'en sortir.

[gg0]

Pour x>=0 :
Prends E=(y-x)/2, puis applique le caractère archimédien de R ( il existe un n tel que nE>=x) puis le plus petit n convenable.

Pour x<<y n=0

Pour x<y<=0 : choisis le n pour -y et -x et change les signes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé :

, il existe et / . Et en déduire que A est dense dans R

Si c'est bien l'énoncé, alors u = x et n = 1 conviennent, mais cela ne prouve pas que A est dense dans IR.

Le bon énoncé doit être :

, il existe et /. Et en déduire que A est dense dans R

et dans ce cas, il suffit de choisir u dans A tel que u < y - x, dont l'existence est garantie par la condition inf(A⁺) = 0, alors le plus petit n tel que a <= nu (la propriété d' Archimède en garantit l'existence), je vous laisse montrer que ce même nu <= y.

[invitefc342db7]

Mince! excusez-moi! C'est bien quelque soit x,y appartenant à R!

Merci pour tout j'y suis arrivé.

Mais j'ai encore une question, dans ma leçon on a utilisé le lemme que R archimédien mais seulement quelque soit a et b R⁺*². Est-ce qu'on peut l'étendre pour R tout entier ?

Bonnes fêtes.

[gg0]

D'une certaine façon, oui, mais comme majorer les négatifs est évident, il faudrait minorer les négatifs. Or c'est la règle que tu as à un changement de signe près. Donc on se contente de la règle simple.

Cordialement.