Borne Inférieure de n-n²
Bonjour ,
La consigne est de déterminer si {n-n² | n € N} a une borne inférieure .Je sais bien qu'elle n'a pas de borne inf parcequ'elle n'a pas de limite .
Mais le problème c'est que j’arrive pas à le démontrer !! Je compte sur vous chers membres !!et Merci en avance
Il suffit de raisonner par l'absurde :
Soit M un minorant de n-n²
On peut alors trouver m entier naturel (supérieur à 2) tel que -m < M
Et on a alors m-m² < M (car m² > 2m pour m > 2)
Donc cet ensemble n'est pas minoré (donc pas de borne inf)
Une autre solution possible.
Soit M un minorant de l'ensemble.
Donc
Ceci doit donc être valable pour n+1, or
notons
d'après la propriété de borne inférieure,
En prenantil vient
Contradiction.
++
Soit Un la suite Un=n-n², si la borne inférieure de l'ensemble existe, la suite est décroissante et minorée, donc converge. Or il est facile de voir que Un+1 - Un ne tend pas vers zéro...donc Un ne peut converger
Ouais, vu comme ça, c'est plus simple aussi.....
