Décomposition en éléments simples

**Jon83** · 31/12/2012, 13h02

Bonjour à tous!

Comment décomposer 1/(x^3-1) en éléments simples?

**jamo** · 31/12/2012, 13h14

Bonjour
x^3-1 possède une racine évidente , tu pourras factoriser (x-x1)(ax²+bx+c) , un polynôme de degré 2 tu sais le factoriser .
Edit
tu pourras écrire après factorisation :
=A/x-x1 + B/x-x2 + C/x-x3

**jamo** · 31/12/2012, 13h24

où avais-je la tête ?

a3 - b3 = (a - b)( a² + ab +b²)

**Jon83** · 31/12/2012, 14h08

Envoyé par jamo

Bonjour
x^3-1 possède une racine évidente , tu pourras factoriser (x-x1)(ax²+bx+c) , un polynôme de degré 2 tu sais le factoriser .
Edit
tu pourras écrire après factorisation :
=A/x-x1 + B/x-x2 + C/x-x3

oui, x=1 est une racine évidente ==> x^3-1=(x-1)(x²+x+1)

donc 1/(x^3-1)=A/(x-1)+B/(x²+x+1) ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**jamo** · 31/12/2012, 14h12

c'est dans quel contexte que tu fais ça car x²+x+1 n'a pas de racines réelles mais complexes .

**Jon83** · 31/12/2012, 14h27

Envoyé par jamo

c'est dans quel contexte que tu fais ça car x²+x+1 n'a pas de racines réelles mais complexes .

C'est pour trouver une primitive de 1/(x^3-1).
La décomposition est 1/(x^3-1)=1/[3(x-1)]-(2x+1)/[6x²+x+1]-1/[2((x+1)/2)²+3/4] mais je ne comprends pas comment on arrive à ce résultat...

**jamo** · 31/12/2012, 14h33

((x+1)/2)²+3/4) , c'est la forme canonique de x²+x+1 , il vient d'où 6x²+x+1 ?
sinon as tu essayé un changement de variable ? par exemple x =tg(u)

**Jon83** · 31/12/2012, 14h39

Envoyé par jamo

((x+1)/2)²+3/4) , c'est la forme canonique de x²+x+1 , il vient d'où 6x²+x+1 ?

Justement, je n'en sais rien.... il est dit textuellement dans la correction:
"on commence par décomposer en éléments simples sur R, puis pour le second membre on fait apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur et on corrige"

**jamo** · 31/12/2012, 14h45

dans ce cas
1/(x^3-1)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x²+x+1)
il suffit de trouver A , B, C

Décomposition en éléments simples