Rayon spectral et matrice subordonnée

[invited7e4cd6b]

Bonjour F.S.,

On aimerait demontrer que ou |||.||| est la norme subordonnee a la norme euclidienne sur et le rayon spectral.

Pour cela j'ai voulu commencer par prouver que pout tout , on a: .
Par définition de la norme subordonnée on a: et par suite et comme est symetrique alors et par suite:


A supposer que: donc

Maintenant il faut montrer que:
.
Ecrivons: et .
Donc vu que c'est une forme quadratique (symétrique a priori) on peut trouver une base orthonormale de diagonalisation qu'on note:, et par suite pour tout vecteur on écrit: et donc .
Avec les valeurs propres reelles et positives de

Ce qu'il fallait démontrer.

J'aimerais avoir un indice pour prouver l'assertion en rouge.

Un grand merci a vous.
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[invited7e4cd6b]

Personne ne se propose d'aider?

[invitef3414c56]

Bonjour,

Je n'ai pas trop suivi vos calculs, et probablement je ne réponds pas à votre question, mais ne peut-on pas raisonner ainsi

(la fin de votre raisonnement peut \^etre utilisée pour le début):

a) Pour tout x dans votre espace vectoriel E, on a:



b) Soit une base orthonormée de diagonalisation pour , et les valeurs propres; disons que est la plus grande. Si , on a:



c) On choisit tout d'abord d'appliquer ce qui précède à , d'où



d) On prend un quelconque, on a



d'où

.

Cordialement.