Ensemble discret inclus dans un compact

[invite97a526b6]

Bonjour, voici ma question :

Dans la correction d'un exercice, il y a l'affirmation suivante donnée comme évidente :

"On a donc un ensemble discret dans un compact, cet ensemble est donc fini"

Cela ne me paraît pas évident du tout. Comment le démontrer ou démontrer qu'un ensemble discret infini ne peut pas être inclus dans un compact ?
Je cherche une démonstration : recouvrement du compact par des boules centrées sur les points de l'ensemble discret ?...

Merci d'avance à qui pourra m'éclairer.
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[Tiky]

Bonjour,

C'est manifestement faux. En effet l'ensemble est discret dans le compact et n'est pas fini.
En revanche un ensemble compact et discret est évidemment fini. Dans ton cas je pense qu'il voulait dire que l'ensemble discret est fermé dans un compact.

[invite97a526b6]

Bonjour,

C'est manifestement faux. En effet l'ensemble est discret dans le compact et n'est pas fini.
En revanche un ensemble compact et discret est évidemment fini. Dans ton cas je pense qu'il voulait dire que l'ensemble discret est fermé dans un compact.

Oui c'est bien ça : l'ensemble est discret et fermé. Toutefois, cela ne me semble pas évident.

[Tiky]

Tu as pourtant donné la démonstration. Si l'ensemble est fermé dans un compact , alors il est compact.
Si on suppose de plus que est discret dans , on peut pour chaque élément ,
trouver un voisinage ouvert de (noté ) de la topologie de qui ne contient aucun autre élément de .
La famille recouvre . On en extrait un sous-recouvrement fini ( une partie finie de ). Donc est fini.

Une autre manière de voir les choses est d'oublier le compact . Soit un ensemble muni de la topologie discrète qui est compact, alors est fini.
En effet les ensembles sont des ouverts de et le recouvrent. On extrait un sous-recouvrement, etc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Merci beaucoup pour cette explication. C'est clair pour moi maintenant.