Inversibles de Z/nZ

[invite029139fa]

Bonjour à tous,

Voilà, le théorème de Wilson stipule que dans (Z/pZ)* (p premier), le produit des éléments vaut -1.
Mais après quelques essais, je trouve que en fait, pour tout n déjà entre 2 et 17, le produit des éléments inversibles de Z/nZ vaut soit 1 soit -1.
Est-ce que quelqu'un en sait un peu plus à ce sujet ?
Et a-t-on que de manière générale :

Dans Z/nZ, le produit des carrés des éléments inversibles vaut 1 ?
Si oui, connaît on la valeur du produit des éléments inversibles ?

Je ne sais pas du tout si ce résultat est vrai, à vrai dire je n'ai même pas encore pu faire de simulation numérique pour disons n<1000.

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Dans le produit des inversibles, chaque nombre qui n'est pas son propre inverse apparait avec son inverse, d'où une simplification facile ...

Cordialement.

[invite029139fa]

Ah oui merci ça répond très simplement à la première question merci.
La seconde revient alors à savoir le nombre d'élément d'ordre 2.
Peut on y avoir accès avec n de manière simple ?

En fait sûrement avec le lemme chinois et connaissant les inversibles de Z/2^kZ

Merci beaucoup.

[gg0]

Complément :

Ma réponse n'est vraiment utile que si n est premier.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite029139fa]

Votre réponse permet tout de même de répondre à la première interrogation.