LOI de POISSON

[philppi]

Bonjour et bonne Année à tous !
Je voudrais savoir si mes réponses aux questions suivantes sont exactes….
QUELQU´UN veut il regarder et m aider, merci d´avance ?

Le nombre de patients contractant une infection nosocomiale (Z) par semaine dans un hôpital H suit une loi de Poisson de moyenne 2.
Dites pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse :

a) La distribution de Z est uni-modale ?
Ma réponse : OUI car pour une loi de poisson 95% des valeurs sont comprises entre la moyenne et +/- 3 écart-types., donc pratiquement un seul mode, 1 seule classe

Soit ici : 2-3 x racine(2) < Z < 2+ 3 x racine(2) donc 2,24 < Z < 6,24, cet intervalle contient 95% des fréquences.
Ce raisonnement est il correct ?

b) Le coefficient de variation est égal à 1 ?
Ma réponse : NON

Car Cv= s/m avec s = écart-type et m = Moyenne = Variance (loi de Poisson), et ici on a donc s=racine(m),

Donc Cv=Racine(m)/m = 1,414/2=0,707

c) La probabilité d´observer au moins un patient contractant une infection nosocomiale (Z>0) est de 86% ( soit p=0,86) ?
Ma réponse : la probabilité d en voir au moins 1, c est la probabilité contraire à en avoir 0, donc 1-P(k=0).
Donc je calcule P(k=0)=0,1353 et P(k>=1)=1-0,1353 =0,86=86%.
Ma réponse est OUI

d) On considère que le nombre de patients contractant une infection nosocomiale est indépendant d´une semaine à l´autre. La probabilité d´obtenir zéro patient contractant une infection 2 semaines de suite est de 27 %.
Ma réponse : les 2 évènements étant indépendants, on pose A = (on a 0 patient en semaine n)
B = (on a 0 patient en semaine n+1)
Donc p(A et B) = P(A)P(B) = 0,1353 x 0,1353 =0,018=1,8%

Donc ma réponse est NON

e) Si l on prend un seuil de risque de 5%, doit on suspecter une augmentation du taux d´infection si l on observe plus de 4 patients contractant une infection nosocomiale en une semaine ?

Ma réponse : je calcule la probabilité d avoir plus de 4 patients contractant une infection nosocomiale en une semaine, je trouve p(Z>=4) =1-P(Z<=4) = 1-0,9473=0,0527=5,27%
Donc je dis que le seuil de risque de 5% est dépassé, et que la Réponse est OUI.

Merci de m avoir lu
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[gg0]

Bonjour.

Pourquoi des avis pour les questions du début, alors que la loi est parfaitement connue, et que tu peux calculer les probabilités de 0, 1,2,3,.. donc dire s'il y a un mode ou plusieurs, et calculer le coefficient de variation ?
Pour la question e, j'ai un peu peur que tu aies raisonné à l'envers. Cherche l'intervalle de confiance à 95 % sur le nombre d'infection chaque semaine.

Cordialement

[toothpick-charlie]

d'accord avec gg0, tu n'as pas à justifier ta réponse à la question a) : la loi de Poisson est unimodale quel que soit le paramètre, c'est un fait connu.

pour d) tu aurais pu dire que la somme de variables indépendantes suivant des lois de Poisson suit encore une loi de Poisson de paramètre la somme des paramètres, et donc le nombre de patients atteints durant 2 semaines suit la loi de Poisson de paramètre 4. Ca revient au même bien sûr, mais ça permettrait de calculer plus rapidement la proba que par exemple exactement 3 patients soient atteints en 2 semaines.

[philppi]

merci beaucoup

oui le a) c est juste sauf que il suffisait en fait de lire la table où l on voit que on a un sommet pour k=1 et k=2

pour le d , merci aussi

par contre pour le e, qu en penses tu?

merci d avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Toothpick-charlie,

tu as compris ma phrase à l'envers !! ici, justement P(1)=P(2), donc il n'y a pas de mode !! La loi de Poisson n'est unimodale que si son coefficient n'est pas entier.
En fait, ici, on tombe sur le flou de la notion de mode.
Pour le b, ma critique était que seule la fin de la réponse est utile : "Cv=Racine(m)/m = 1,414/2=0,707"

Cordialement.

[toothpick-charlie]

ah oui, on peut voir ça comme ça. J'aurais dit que du moment qu'il n'y a qu'une bosse une distribution est unimodale, en poussant un peu je dirais que la distribution uniforme sur [0,1] est unimodale, mais c'est peut-etre un raisonnement de statisticien plus que de probabiliste. Si on prend la définition standard du mode (le sup essentiel) effectivement il n'y a pas qu'un mode.

[gg0]

Voilà !

C'est pourquoi je lui conseillais d'aller voir, car je ne connais pas sa définition d'unimodal (qui est plutôt une notion de statistiques descriptives que de probabilités. Mais certains profs aiment bien !

Cordialement.

[philppi]

Merci de ton aide et de tes encouragements

pour le e, n aurais tu pas une idée ?

mon raisonnement se tient je pense, mais j ai un gros doute quand même, en plus ggo me dit que j ai raisonné à l envers, mais ca veut dire quoi ?

merci d avance............

[gg0]

Philppi,

tu as comparé ton 5,47% à 5%, en oubliant ce que tu devais chercher. Le risque étant de 5%, la zone d'acceptation va de 0 à 4 au moins puisqu'on veut une confiance de 1-5%=95% (ici, on ne tombera pas exactement sur 95%). Si tu rejettes 4, tu n'acceptes pas 95% des cas, tu rejettes plus de 5% des cas, donc tu augmentes le risque.
Ton raisonnement " le seuil de risque de 5% est dépassé, et que la Réponse est OUI" marche encore mieux avec 3, car le seuil de risque est encore plus dépassé ! voire même avec 2, ou 1, ou 0 (là on est à 100%, le seuil de risque est nettement dépassé !!
J'espère que tu vois maintenant où est l'inversion (on rejette si on est là où le seuil de risque n'est pas atteint).

Cordialement.

NB : Cette notion de test d'hypothèse et de risque est compliquée. le mieux est de raisonner en domaine d'acceptation et domaine de rejet.

[philppi]

merci beaucoup ggo

je vois que cette notion est assez complexe mais tu m as bien aidé, re-merci

à plus et bon dimanche

[philppi]

re-bonjour

on peut donc dire que la réponse est non ?

Je ne trouve pas cela logique, mais j avoue etre perdu aprés réflexion,ces tests sont trés compliqués pour moi.

Je pensais que de passer de 2 à 4 patients augmentait le risque..............

[gg0]

Heu...

ça n'augmente pas le risque, mais donne une indication sur le fait que ça pourrait être vrai.
Mais je crains de parler dans le vide : Connais-tu la théorie des tests d'hypothèse ?
Si oui, le risque est prédéfini (il n'augmente pas, ni ne diminue. ici, il est fixé à 5%). Et il permet de prendre des décisions. Et dans ton cas, la décision est "non, on ne considère pas que le taux d'infection a augmenté" (*).

Si tu ne connais pas, alors on perle un peu dans le vide, car tu parles de la notion intuitive de risque (au sens de probabilité que ça arrive, alors que ton énoncé parle d'autre chose).

Cordialement.

(*) Je viens de relire ton énoncé : "plus de 4 peut vouloir dire 4 ou plus, cimme tu l'as fait, ou au moins 5, auquel cas la conclusion est inversée, la probabilité étant tombée à moins de 5%)

[philppi]

coucou

ici quelle est l hypotHese nulle H0 et quelle est l hypothese H1?

je sais que le risque de 5% est la probabilité de rejeter H0 alors que H0 est vraie ...

H0= le fait d avoir 4 patients infectés dans la semaine augmente le taux d infection ?

H1= le fait d avoir 4 patients infectés dans la semaine n´augmente pas le taux d infection ?

D apres les calculs , on a P(z>=4) = 5,27%,.... que puis je en conclure?

désolé mais je voudrais bien comprendre ce test, j ai lu la théorie des tests , j ai fait des exos, mais surement plus simples, que j avais compris ou cru comprendre, ici je trouve que le problème est posé de manière peu claire

merci de m avoir lu

[gg0]

Attention,

les 4 patients, c'est déjà la réalisation du test.
La question qu'on se pose est "le taux d'infection a-t-il augmenté". Comme augmenté est une notion floue (quel modèle pourrait-on prendre ?), on prend pour H0 : "Le taux n'a pas changé" et pour H1 : Le taux a augmenté" (d'où un test unilatéral, puisque si le nombre de malades est devenu très grand, on rejette H0, alors que s'il est petit, on peut l'accepter.
La variable test est le nombre n de malades, et donc on accepte H0 si n<=a, et on rejette H0 si n>= a+1, où a est une valeur déterminée par le choix du risque.

Cordialement.

NB : " le fait d avoir 4 patients infectés dans la semaine augmente le taux d infection" pris sricto sensu est une hypothèse vraie : ça augmente le taux d'infection du personnel soignant. Mais ça n'a rien à voir avec le sujet.