équation différentielle v=(v')^2/v''

[invite4afd691f]

Bonjour,

je cherche à déterminer le temps que met un véhicule à parcourir un trajet x dont le profil de vitesse curviligne v(x) est linéaire.

La vitesse curviligne peut s'exprimer ainsi:
v(x)=v0+ax*x, ax et v0 étant constant, ax étant la dérivée de la vitesse par rapport à la longueur x du trajet.

une solution serait de déterminer v en fct de t pour pouvoir trouver une relation directe entre t et x, la relation entre v et x étant triviale.

En utilisant la relation suivante :ax=cste=dv/dx=dv/dt*dt/dx=a(t)/v
on peut écrire : v(t)=v0+ax*x(t)=v0+a(t)/v(t)*x(t)

J'ai dans un premier temps considéré que x était une constante, mais je crois que c'est une erreur!

Nous avons donc l'équation différentielle suivante :
x(t)=(x'(t)-v0)*x'(t)/x''(t)

Est ce que qqn saurait s'il est possible de résoudre ce type d'équation différentielle de façon explicite et si oui, comment?

J'ai remarqué que dériver une premier fois l'expression permet de retomber sur une forme peut être plus classique: v=(v')^2/v''
Serait-il possible de démarrer de cette forme pour injecter la solution obtenue dans la première équation différentielle?


Merci par avance,
Olivier
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[invitef3414c56]

Bonsoir,

Je ne suis pas s\^ur d'avoir bien compris votre demande. Cependant, sauf erreur, on doit pouvoir raisonner de la manière suivante:

1) Pour l'équation différentielle:


en faisant toutes les hypothèses qu'il faut (on est sur un intervalle où ne s'annulent pas, etc),
l'équation s'écrit aussi:



Donc:


de sorte que , où est une constante, et par suite , équation différentielle simple du premier ordre, qu'il est facile de résoudre.

2) Pour la deuxième équation différentielle, m\^eme méthode, considérez , dérivez cette fonction.

Bien cordialement.

[invite63e767fa]

Je n'ai pas vérifié la modélisation physique. Donc, sans savoir si l'équation différentielle est correcte ou non :
x(t)=(x'(t)-v0)*x'(t)/x''(t)
a pour solution : x(t)= c*exp(t) -v0
avec c = constante

Si on ne considère pas ce résultat comme étant "évident", on procède de la façon suivante :
Posons z(x)=dx/dt donc d²x/dt²= (dz/dx)*(dx/dt) = z' z
x=(z-v0) z / (z' z)
x z'-z = -v0 dont la résolution donne z = x+v0
dx/dt = x+v0
dx/(x+v0) = dt
ln(x+v0)=t+C
x = exp(t+C)-v0 = c*exp(t)-v0

[invitef3414c56]

@JJacquelin:

Dans votre résolution

"x z'-z = -v0 dont la résolution donne z = x+v0"
en fait c'est z=cx+v0 avec c constante quelconque (sol particulière v0+sol générale de l'équation homogène xz'-z=0). On trouve donc la m\^eme chose, avec deux méthodes différentes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4afd691f]

Merci pour vos réponses!

La solution semble cohérente avec les données physiques du problème.
je n'ai pas tout compris dans l'explication de Jjacquemin, mais il me semble qu'il y a également une constante à déterminer (c'est ax) a coté du t dans les parenthèses de l'exponentielle:
x(t)=c*exp(ax*t)-v0/ax