Bonjour à tous,
J'essaie de trouver M et N pour le problème joint en pièce jointe.
D'après le document, M et N sont quelconques non singulières, et X et Y sont symétriques définies positives connues.
A priori, il existe une seule solution. En faisant une décomposition QR, je ne trouve pas Q symétrique.
Les dimensions sont telles qu'elles vous arrangent, j'aimerais simplement avoir une idée sur la méthode.
Quelqu'un aurait une idée?
Merci
Je n'ai pas accès au lien que tu proposes
Comment faire ?
Il vient d'être validé par l'administrateur
Juste une question : I correspond à la matrice identitaire ou bien à une matrice quelconque ?
Oui, il s'agit bien de la matrice identité.
Merci
j'espère ne pas m'être trompé dans la copie de l’exercice.
En premier lieu, il est écrit "-1" donc la matrice dont tu calcules l'inverse doit être inversible. Donc M est inversible.
Multiplie à droite par la matrice dont tu as pris l'inverse. Un calcul de matrice par bloc ( en espérant que les dimensions conviennent) aboutit à l'unique condition :
XN + MW = 0
Je te laisse soin de comprendre qu'il y a équivalence entre les énoncés:
(i) : M et N sont solution de ton problème
(ii) : M inversible et cette égalité est vérifiée
Il suffit alors de "résoudre" cette équation!
Posons
du fait que X est symétrique réelle, on peut dire qu'elle est diagonalisable et possède des valeurs propres réelles. Maintenant X est définie donc ces valeurs propres sont non nulles. De plus X est positive donc : Les valeurs propres sont positives strictes.
Ainsi, X est inversible. De ce fait l'application phi définie plus haut est linéaire, injective donc bijective.
Par suite: Se fixer un M rend la choix de N unique. Je te laisse alors le soin de comprendre que l'espace des solutions (M, N) vérifiant phi(N) = -MW est un espace vectoriel de dimension 1.
Ce point n'est peut-être pas évident. Il me semble qu'il faut juste l'écrire simplement
Après il suffit de prendre l'intersection de l'espace vectoriel trouvé plus haut avec les matrices inversible.
Ce qui me chagrine est que je ne trouve pas une unique solution
Merci pour votre réponse, mais en suivant votre raisonnement, on peut aussi immédiatement identifier W=-NXM-1.
Du coup, l'équation que vous écrivez donne: NX-NX=0 ...
(Edit: pour ma part, je n'ai pas l'équation que vous donnez mais XN + WM = 0)
Dernière modification par Anduriel ; 23/01/2013 à 18h04.
Je me suis peut être trompé dans la multiplication de matrices par bloc, je vais redémontré la formule dans quelques minutes pour être sûr de ce que j'avance. Dans le cas où je me suis trompé, changer MW en WM ne modifie en rien le raisonnement.
Heureusement !!! Légère erreur de raisonnement de votre part. Voilà ce qui est dit :Envoyé par Anduriel
on a l'équation suivante: x + by = 0
donc x = -by
donc en remplaçant dans l'équation de départ, (-by) + by = 0
où est le problème ? Heureusement qu'un tel x permette de trouver une solution
Il n'est pas très important à mon sens de savoir que W s'exprime bien en fonction de M et N. En effet c'est explicité M et N qui nous intéresse!
Si possible met le doigt sur un passage du raisonnement que tu ne comprends pas auquel cas je le détail pour tenter de te démontrer que j'ai raison (ou peu être trot je ne suis pas un DIEU!)
