Résolution d'équation matricielle

[invitec1cd705e]

Bonjour,

Je sèche sur un problème qui me semble pourtant trivial. Je veux résoudre l'équation



Je connais et , qui sont de dimension , et je cherche à calculer et , de dimension


Si j'isole , je me retrouve avec



Sauf que ce calcul est faux, n'étant pas inversible (c'est un vecteur).


Je change donc de stratégie, pour obtenir une matrice carré (donc normalement inversible):





Cependant, je ne peut toujours pas inverser le produit , Matlab me retournant une matrice infinie (calcul fait avec un jeu de matrices correspondant à une réalité physique).

Ce problème vient de mes matrices qui sont mal conditionnées, ou de ma méthode qui est inadaptée?

Merci d'avance
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[invitec1cd705e]

En essayant de résoudre mon problème comme un système d'équation, je viens de comprendre pourquoi je coince...

En considérant , je pose







L'équation devient

Soit et

Donc un système à 2 équations et 4 inconnues...

[invitef3414c56]

Bonjour,
Je suppose que C_1 et C_2 ne sont pas nuls. Voici une possibilité. On transpose l'équation que vous avez; elle devient


où

.

La matrice unicolonne est la matrice unicolonne des coordonnées d'un vecteur v_1 dans la base canonique B de . De m\^eme est la matrice unicolonne des coordonnées d'un vecteur w_1 dans B. Soit f l'application linéaire dont la matrice est Q dans la base canonique B.

On a deux conditions sur f qui expriment votre problème:

1) f est un isomorphisme (car Q est inversible)

2) ;

Il s'agit donc de construire de tels f. En théorie, c'est facile: comme v_1 n'est pas nul, on complète v_1 par , pour former une base B_1 de E, on complète w_1 par pour former une autre base B_2 de E, et on définit f par . On calcule la matrice Q de f, mais attention: dans la base canonique B, et on a une matrice Q qui convient; on en déduit P.

Noter qu'il y a une infinité de matrices Q, donc de matrices P solutions.

Voici un cas particulier ou cela marche bien. On note , , (k=1,...,n) et on fait l'hypothèse que et ne sont pas nuls. Dans ce cas, on peut prendre pour et de m\^eme pour . On a donc pour . Il reste à calculer , ce qui se fait en calculant f(v_1) en fonction des e_j.

Vérifiez que:



Vous avez alors une matrice Q explicitement. Il reste à la transposer et l'inverser pour trouver P. Mais il y a beaucoup d'autres solutions.

Cordialement.