Fonction à deux variables

[invite4c80defd]

Bonjour, je vous recontacte car j'ai encore besoin de votre aide pour un exo .
En fait, la question de mon exo consiste à montrer que le point (0,0) est un extremum local (ou pas) de la fonction f(x,y)=x^2*y^3*(3x+2y+1) .
J'ai déjà posté une discussion sur cet exercice (il s'appelle fonction de deux variables je crois) et vous m'avez bien aidé en me donnant une méthode efficace pour faire face à ce problème, pas de problème de ce côté. Seulement , mon prof veut que l'on applique la méthode qu'il nous a donné en fin de cours en 10 secondes : mais je ne l'ai pas comprise sa méthode!
Je vous explique la situation:
j'ai trouvé deux points critiques dont le point (0,0).
Ensuite, j'ai calculé les dérivées partielles secondes et j'ai mis en place la matrice hessienne.
Seulement , en calculant cette matrice, il y a un cas dans lequel on ne peut pas conclure et où il faut alors utiliser une autre méthode (quand on la trouve égale à 0): celle que vous m'avez donné allait bien mais c'est là que celle de mon prof intervient: elle consisterait à "fixer une des deux variables" et étudier cette fonction apparemment ( on en a parlé rapidement dans la dernière discussion mais sans rentrer dans les détails.)
Pouvez-vous m'expliquer un peu plus cette façon de procéder car je n'ai rien trouvé sur internet qui me soit utile.
Merci d'avance.
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[invite33c0645d]

Décidément les extremums locaux ne sont pas un point fort !

Es-tu d'accord avec la méthode introduite dans l'autre post ? Vous me répondrez oui. (Enfin j'espère.. )

Fixe par exemple la variable y. Suppose qu'au voisinage de 0 l'application g définie par ne possède ni maximum ni minimum.
C'est-à-dire qu'aussi proche de 0 soit-on, ton g est à la fois au-dessus et en dessous de g(0).
Montrons alors que f n'admet ni maximum ni minimum local. Dans la précédente discussion, j'ai explicitement écrit comment il fallait s'y prendre.

Cela te fourni une démonstration de la méthode de ton professeur.

Ce que ton professeur dis est la chose suivante : Pour montrer qu'une application n'admet ni max ni min : Plutôt que de regarder ce qui se passe aussi proche de zéro sur tout un domaine (les boules) il suffit de se restreindre à une droite et de voir qu'il n'y a ni min ni max!

Pour en faire une démonstration intuitive, remémore toi l'image à propos du toboggan que je t'avais proposée!

[invite4c80defd]

Oui j'ai compris ce que vous m'avez expliqué dans l'autre post.
Seulement, pour montrer que l'on avait pas d'extremum, nous n'avons pas eu besoin de fixer y.
Je suis désolé mais je ne suis pas sur d'avoir compris.
Je vous dit ce que j'ai saisi (je ne suis pas sur):
- je fixe y
-je suppose que f (avec pour seule variable x) n'admet aucun min ni max local
Il me resterais donc à montrer qu'il n'y pas d'extremum; si j'étudias la limite de la fonction obtenue en 0 et j'arrivais à montrer que cette imite tend vers 0 , oui mais vers 0- par exemple, est-ce que cela suffirait à montrer que que f n'a pas pour minimum local 0 ?
je m'excuses d'avance si je ne comprend encore pas grand chose mais cette idée m'est venue à l'esprit, je vous demande votre avis sur la question (qui est peut-etre une bétise énorme).

Sinon, une fois que j'ai fixé y par exemple, avec votre méthode, si y est fixé, je ne peut pas calculer f(x,y) car y reste y: il faudrait alors que je considère y >0 puis y<0 et étudier le f(x,y) obtenu avec ma valeur de x ?
merci d'avance

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai une autre méthode, elle n'est peut-être pas académique, mais ça vous aidera peut être à comprendre l'ensemble.
On a vu que cette fonction représentait une surface.
Lorsqu'on fixe X ou Y, cela revient à couper cette surface par un plan vertical, perpendiculaire à l'axe des X ou à l'axe des Y.
L'intersection de ce plan avec la surface est une courbe plane.
Si on prend la dérivée partielle de f suivant X ou Y (l'un puis l'autre), on va bien obtenir l'extrémum local pour la courbe.
L'intersection des 2 plans (celui de X et celui de Y) est une droite verticale. Si on a bien choisi la position de telle sorte que les deux plans se coupent justement sur l'extrémum, on a trouvé ce point.

Donc calculez les deux dérivées partielles, mettez les sous forme agréable, ecrivez qu'elles s'annulent et concluez.
Pour le point en (0;0), vous verrez facilement que l'une des deux dérivées change de signe, l'autre pas. On a bien un point singulier, mais ce n'est pas un extrémum, puisque l'une des deux dérivées ne change pas de signe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33c0645d]

ton idée n'est pas sotte! En effet, si tu trouves un moyen de dire que la limite en (0; 0) de f(x, y) tend vers 0+ (selon une direction par exemple f(x^2, x) ->f(0, 0)+), mais si de plus tu trouves un moyens de montrer que f(x, y) tend vers f(0, 0)- (selon une autre direction) alors tu auras prouvé qu'il existe deux possibilités d'approche de ce f(0, 0) soit par valeur supérieure soit par valeurs inférieures donc tu auras prouvé qu'en étant aussi proche du point f(0, 0) que tu veux, tu peut trouver un moyen de voir f à la fois au dessus et en dessous de f(0, 0) Mais encore une fois fais-en une démonstration pour en être certain

Pour la démonstration de la méthode de ton prof je restais dans un cadre général. Poses f une application quelconque de R^2 dans R. Je prétend qu'il faut prendre le temps d'écrire les définitions suivantes (de manière explicite avec les bons quantificateurs etc...)
f(x, y) admet un minimum local en (a, b). f(x, y) admet un maximum local en (a, b). f(x, y) n'admet ni maximum local ni minimum local en (a, b).
La dernière assertion écrite est celle qu'il faut démontrer!

Ecrire aussi ce qui suit. Soit y fixé quelconque. L'application qui à x fait correspondre f(x, y) n'admet pas de minimum local et n'admet pas de maximum local.
Je pense qu'à partir de là tu devrais pouvoir raisonner ça sautera aux yeux sans forcément réfléchir au sens des choses

[invite4c80defd]

D'accord, merci à tous les deux.
Merci Suite2 d'avoir confirmée mon idée, cette méthode devrait donc fonctionner.
Dlzlogic, votre méthode me parait très intéressante aussi. C'est bien ce que Suite2 m'avait dit je mes souvenirs sont bons. Mais je voudrait quand même maitriser cette façon de faire, ça peut être utile.
Il faut donc que je dérive f par rapport à x puis par rapport à y, ce que j'ai fais
J'égalise à 0, ce que j'ai fais quand j'ai cherché les points critiques ( j'en ai trouvé deux dont le point (0.0)).
Il faut donc que j'étudie le signe de ces deux dérivées partielles premieres et je dois normalement constaté que l'une d'elles change de signe au voisinage de 0 et pas l'autre ?
ai-je bien compris ?
Merci à tous les deux, c'est vraiment sympa.

[invite14e03d2a]

En fait, la question de mon exo consiste à montrer que le point (0,0) est un extremum local (ou pas) de la fonction f(x,y)=x^2*y^3*(3x+2y+1) .

(...) "fixer une des deux variables" et étudier cette fonction apparemment

Il y a quelque chose qui m'échappe. Si on veut étudier f en (0,0) en fixant une des deux variables, disons y (c'est pareil pour x en fait), alors il faut fixer y=0. Mais dans ce cas, f(x,0)=0, pas grand chose à étudier,non?? Es-tu sûr que ton prof parlait de (0,0)? Et non pas de l'autre point critique?

[Dlzlogic]

Il y a quelque chose qui m'échappe. Si on veut étudier f en (0,0) en fixant une des deux variables, disons y (c'est pareil pour x en fait), alors il faut fixer y=0. Mais dans ce cas, f(x,0)=0, pas grand chose à étudier,non?? Es-tu sûr que ton prof parlait de (0,0)? Et non pas de l'autre point critique?

A mon avis, la question est : que se passe-t-il en (0;0) ? Soit un extrémum pour la fonction, c'est à dire soit un creux ou une bosse pour la surface, soit un point particulier, dans une direction, c'est un point bas (ou un point haut) mais dans l'autre direction le sens de variation, après être passé par zéro, reprend dans le même sens.
Par contre, pour l'autre point, il s'agit réellement d'un extremum.

[invite4c80defd]

J'imagine que vous parlez du point (-1/9,-1/4). ?

[invite4c80defd]

Je trouve pour la matrice hessienne 1/20736, et donc un minimum local en ce point .
Mais pour ce point, pas besoin de passer par des méthodes autres que las calculs des dérivées partielles secondes: la matrice hessienne ne s'annule pas ce qui n'est pas le cas en 0....

[invite4c80defd]

Et bien non, mon prof ne parlait pas de l'autre point, mais de celui-ci car je lui disait que la matrice hessienne s'annulait, c'est alors qu'il m'a parlé de cette technique de" bloquer une variable" dont je ne comprend pas toute la technique..
au fait, merci pour votre aide!

[invite14e03d2a]

soit un point particulier, dans une direction, c'est un point bas (ou un point haut) mais dans l'autre direction le sens de variation, après être passé par zéro, reprend dans le même sens.

Je ne comprends pas cette partie. Peux-tu détailler?

[Dlzlogic]

Je ne comprends pas cette partie. Peux-tu détailler?

Reprenons les deux plans verticaux.
C'est la représentation pour X (resp. Y) considéré comme paramètre et non plus variable. Je pense que c'est ce que le professeur d'Iris appelle "bloquer une variable". C'est exactement ce qui se passe quand on calcule une dérivée partielle : on ramène tout à un plan avec y =f(x) x, étant la variable par rapport à laquelle on dérive.
Donc imaginons 2 plans verticaux et perpendiculaires qui se coupent en (0;0). La dérivée en ce point par rapport à X change de signe, alors que celle par rapport à Y passe par 0, donc tangente horizontale, mais ne change pas de signe.
Il est certain qu'avoir les expression des dérivées partielle sous les facilité la compréhension.
Je suis d'accord pour le point (-1/9;-1/4). En ce point les deux dérivées passent par 0 et changent de signe, donc c'est un extrémum.
Mais je me permets de rappeler que cette vision des choses n'est pas forcément académique.

[invite14e03d2a]

Reprenons les deux plans verticaux.
C'est la représentation pour X (resp. Y) considéré comme paramètre et non plus variable. Je pense que c'est ce que le professeur d'Iris appelle "bloquer une variable". C'est exactement ce qui se passe quand on calcule une dérivée partielle : on ramène tout à un plan avec y =f(x) x, étant la variable par rapport à laquelle on dérive.

La surface en question est et les deux plans verticaux et ,non? Si j'intersecte et , j'obtiens , i.e. la droite . De même, si j'intersecte et , j'obtiens une droite. C'est pour cela que je ne comprends pas pourquoi fixer (ou ) à est pertinent. Par contre, considérer l'intersection de et du plan (autrement dit, considérer la fonction ) permet de conclure.

Donc imaginons 2 plans verticaux et perpendiculaires qui se coupent en (0;0). La dérivée en ce point par rapport à X change de signe, alors que celle par rapport à Y passe par 0, donc tangente horizontale, mais ne change pas de signe.
Il est certain qu'avoir les expression des dérivées partielle sous les facilité la compréhension.

Sauf erreur de calcul, les dérivées partielles vérifient . Donc je ne comprends pas tes affirmations.

Mais je me permets de rappeler que cette vision des choses n'est pas forcément académique.

Peu importe que ce soit académique ou non, du moment que c'est rigoureux.

[invite4c80defd]

Je ne comprend pas trop le fait que l'une des dérivées change de signe et pas l'autre , en quoi cela montre t-il que j'ai un extremum (j'ai un peu de mal à me représenter les choses)
Meme si vore méthode n'est pas académique, elle a l'air intéressante
Si je la suis, il faudrait donc:
- que je dérive la focntion de départ par rapport a x puis para rapport a y
- que j'étudie le signe de chaque dérivée au voisinage de 0 ?
Par exemple, pour la dérivée de avec y constante, j'ai :
f'=x*y^3(9x+2+4y)
que faut-il que je fasse à présent ?
si je pose y>0:
limite (f') quand x tend vers 0+=0+
limite de(f') quand x tend vers 0-=0-

de même pour la dérivée de f par rapport à y , j'ai trouvé limite en 0+ égale à 0+ et pour limite en 0- :0+

cela suffirait à dire que f n'admet pas d'extremum ??

Comment avez-vous fait pour étudier le signe de ces dérivées, qu'en avez vous conclut ?
merci d'avance

[invite4c80defd]

qu'en pensez-vous ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
On a une surface z=f(x,y).
Si on considère x=a comme paramètre, et non plus comme variable, alors z=f(a,y) qui est un plan vertical à l'abscisse x=a.
Idem pour y=b.

La dérivée partielle par rapport à x (y est un paramètre) s'écrit
f'(x)= x y^3 (9x + 4y + 2)
par rapport à y (x est un paramètre) s'écrit
f'(y)= x² y² (9x + 8y + 3)
On sait que l'on a un point singulier pour toutes les valeurs qui annulent les dérivées partielles.
Le fait de considérer une variable comme paramètre revient à remplacer chaque élément de surface par une courbe plane dans un plan vertical. Lorsqu'on annule la dérivée partielle, on trouve la droite tangente à la courbe.
Lorsqu'on résout le système (ou annule en même temps les 2 dérivées partielles). En ce(s) point(s), la tangente locale à la courbe est horizontale. Ces deux tangentes déterminent un plan horizontal, qui est donc on point singulier, soit minimum, soit maximum soit "plan d'inflexion" (expression personnelle que je viens d'inventer).

Que se passe-t-il au point (0;0) ?
Le terme qui annule la dérivée est x y^3 (la variable est x) et x²y² (la variable est y).
Quand x passe de -0 à +0 la dérivée change de signe. Quand y passe de -0 à +0 la dérivee ne change pas de signe.
La fonction z pourrait avoir la forme d'un fauteuil en plastique moulé que l'on imagine tourné vers le nord.
Le point (0;0) est juste situé près du bord, où la surface est horizontale.
Lorsque x passe de -0 à +0, la dérivée est décroissante puis croissante. C'est un point bas dans ce plan.
Par contre, lorsque y passe de -0 à +0, la dérivée est fonction de y², donc elle garde le même signe.

Maintenant réponses précises aux questions.
@Taladris
On étudie la position (0;0) parce que c'est la droite (mais pas la seule) qui résout le système.
On étudie un point à la fois. On a un système f'(x,b)=0 et f'(a,y)=0 où a=0 et b=0
Ce système admet une solution (entre autres) x=0 ; y=0.
On ne peut pas dissocier des équations, puisqu'on étudie chacune des solutions, indépendamment.
C'est le système que admet une solution, et non chaque équation.
Une fonction z=f(x,y) n'admet que 2 dérivées partielles et non pas 4. La dérivée par rapport à x, y est un paramètre, et celle par rapport à y, c'est alors x le paramètre. La représentation géométrique par plans verticaux me parait la plus claire.

@Isis
f'=x*y^3(9x+2+4y)
que faut-il que je fasse à présent ?
si je pose y>0: : Non on sait que y =0, mais comme c'est un paramètre, ce n'est pas une variable pour l'étude du signe de la dérivée
limite (f') quand x tend vers 0+=0+
limite de(f') quand x tend vers 0-=0- : donc la dérivée change de signe en 0

Pour l'autre dérivée, elle ne change pas de signe, donc, ça ne peut pas être un extrémum pour la surface.
Pour contre pour le point (-1/9;-1/4), les deux dérivées changent de signe, on a donc bien un extrémum.

[invite4c80defd]

Merci besucoup , c'est bien plus clair à présent.
Je continue donc mes exos et recontacterai si je rencontre encore des soucis.
Merci à tous!

[Dlzlogic]

Je viens de télécharger SciLab.
alors, comme un gamin qui a un nouveau jouet, le l'ai essayé pour visualiser votre surface.
On peut constater que les calculs ne mentent pas.

[leon1789]

Une remarque en passant : considérons la fonction g(x,y) = x²-y²
les deux dérivées partielles (qui sont 2x et -2y) s'annulent en (0,0) et changent de signe au voisinage, mais la fonction g n'admet d'extremum en (0,0)...
Cela s'appelle un point selle (comme une selle de cheval).

[Dlzlogic]

@Isis-mirka,
Si vous voulez d'autres images, c'est facile et très joli.
Mas s'il vous plait, par MP, pour éviter que certains ne polluent cette discussion.

[leon1789]

Pour des choses un peu étranges comme ça

les deux dérivées changent de signe, on a donc bien un extrémum.

quand on regarde le simple exemple x²-y² , une explication détaillée serait bienvenue.

[invite4c80defd]

Merci Dlzlogic pour votre image , c'est très clair. il est possible que je vous en envoie une autre dans ce style car c'est agréable de la voir pour de vraie.
Leon1789, les dérivées changent de signe toutes les deux , oui mais je fais toujours le calcul de la matrice hessienne avant de recourir à cette méthode, et si le résultat est négatif, alors on a un point selle , ce qui n'est pas le cas ici puisqu'elle vaut 0. On peut donc simplement vérifier si on a un point selle avant de se lancer dans le changement de signe des dérivées, ce qui limite la casse..

[invite4c80defd]

Encore une petite question:
J'ai la fonction f(x,y)=x^2-2xy+y^3 à étudier
J'ai trouver deux points critiques: A(0.0) et B(9/16,3/4)
Le souci c'est que j'ai un point col pour B et pas d'extremum local pour A
Dans ce cas, je n'ai donc aucun extermum global ?

[leon1789]

je fais toujours le calcul de la matrice hessienne avant de recourir à cette méthode, et si le résultat est négatif, alors on a un point selle , ce qui n'est pas le cas ici puisqu'elle vaut 0.

On peut avoir une matrice hessienne nulle et pourtant un point selle : h(x,y) = x^4-y^4 , toujours en (0,0)
Non ?

[invite4c80defd]

ah ..ça ne savais pas , vous m'apprenez quelque chose là .

[invite14e03d2a]

, alors z=f(a,y) qui est un plan vertical à l'abscisse x=a.

Non, cela représente l'intersection de la surface avec le plan vertical , i.e. une courbe. Comme déjà dit, quand , cette courbe est une droite.

La dérivée partielle par rapport à x (y est un paramètre) s'écrit
f'(x)= x y^3 (9x + 4y + 2)
par rapport à y (x est un paramètre) s'écrit
f'(y)= x² y² (9x + 8y + 3)

Vos notations n'ont aucun sens. La notation usuelle pour les dérivées partielles est et (*). On trouve aussi parfois et (ou juste et ). Notez que dans tous les cas, pour une fonction de 2 variables, la fonction dérivée partielle par rapport à x (si elle existe) est elle aussi une fonction de deux variables.


(*) La notation pour désigner la valeur de la dérivée partielle par rapport à x au point générique (x,y) est à mon sens très mauvaise (deux occurrences de x avec des rôles différents) mais est hélàs la plus courante.

@Taladris
On étudie la position (0;0) parce que c'est la droite (mais pas la seule) qui résout le système.

La droite (0,0) ???

On étudie un point à la fois. On a un système f'(x,b)=0 et f'(a,y)=0 où a=0 et b=0

Mais pour , le système obtenu est

Une fonction z=f(x,y) n'admet que 2 dérivées partielles et non pas 4.

Je sais, et je n'ai écrit que deux dérivées partielles. Précisément, j'ai écrit que la valeur des dérivées partielles le long des axes de coordonnées est nulle.

f'=x*y^3(9x+2+4y)

Cela n'a aucun sens.

On peut constater que les calculs ne mentent pas.

Une mauvaise méthode peut donner le bon résultat. Surtout quand le résultat est déjà connu, grâce à une autre discussion.



Encore une fois, je ne dis pas que fixer une des variables ne peut pas être utile pour étudier une fonction de plusieurs variables (au contraire, c'est très souvent utile) mais qu'ici, je ne vois pas en quoi c'est pertinent.


Comme Isis-Marka a déjà eu une réponse à sa question (savoir si est un extremum local de ou non) dans une autre discussion, je ne participerai plus à cette discussion qui s'enlise et lui conseille de demander directement à son prof les détails de la méthode qu'il a en tête.

[invite4c80defd]

Merci pour toutes ces précisions. Je devrais arriver à me débrouiller avec tout ça.
C'est très gentil à tous

[leon1789]

(...)
Vos notations n'ont aucun sens. La notation usuelle pour les dérivées partielles est et (*). On trouve aussi parfois et (ou juste et ). Notez que dans tous les cas, pour une fonction de 2 variables, la fonction dérivée partielle par rapport à x (si elle existe) est elle aussi une fonction de deux variables.
(...)
La droite (0,0) ???
(...)
Mais pour , le système obtenu est
(...)
Cela n'a aucun sens.
(...)

C'est malheureusement récurrent avec Dlzlogic.

(*) La notation pour désigner la valeur de la dérivée partielle par rapport à x au point générique (x,y) est à mon sens très mauvaise (deux occurrences de x avec des rôles différents) mais est hélàs la plus courante.

Je suis d'accord avec vous : personnellement, j'aime bien la notation pour désigner la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ième variable, et son évaluation
Mais le mal est fait, les notations sont posées, les habitudes sont prises, la machine ne peut probablement plus revenir en arrière.

[invite14e03d2a]

\partial_i f[/TEX] pour désigner la dérivée partielle de f par rapport à sa i-ième variable, et son évaluation

Je retiens cette notation, merci!