Fonctions et sommes

[Isis-mirka]

Bonjour à tous, je vous contacte à nouveau car j'ai besoin d'aide pour un drôle d'exercice.

Le voici: (c'est le 7)
énoncé 226 001.jpg

Voici ce que j'ai fait déjà pour les deux premières questions:

ex7 .226 001.jpg

Je me pose donc des questions pour la 2ème( voir feuille écrite à la main)
Mais le plus gros problème vient de la dernière question, je ne comprend psa ce que l'on me demande, que faut-il représenter ? comment trouvons ce nuage de points ?
Les coordonnées de chacun des points donnés doivent correspondre à des valeurs de a et b je suppose mais que faire de ces valeurs ?
Merci d'avance pour votre aide car je ne comprend pas grand chose dans cet exercice.
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[gg0]

Bonjour.

Pour la question 2, tu cherche un extremum d'une fonction qui est une somme de carrés. Tu en trouve un seul, il est assez facile de voir pourquoi c'est un minimum. Je te laisse rédiger une preuve bien argumentée.

Pour le 3, les valeurs données sont les (xi,yi) comme c'est dit au début de l'énoncé. a et b sont les inconnues du problème, les paramètres de la droite d'ajustement.

Cordialement.

[Isis-mirka]

pour la question 2, il faut donc que je reparte de l'expression de E(a,b)..
Etant donné que l'on a une somme de carrés, la plus petite valeur que pourrait prendre cette somme serait 0. Si l'expression ax_i+b-y_i vaudrait 0 et donc la somme de termes nuls vaudrait 0 aussi (corrigez-moi si je ne part pas dans le bon sens).
j'ai remaqué d'ailleurs que si a=yi/xi et b=0, cette somme vaut 0 mais je ne suis pas sur la bonne piste en suivant ce chemin la car a et b doivent etre exprimés en fonction de tous les autres parametres...
Je pourrais peut etre aussi égaliser mon expression encadrée de la question 1. à 0 mais cela me parait alors tres difficle d'isoler a et b .

[gg0]

Voyons !

Une somme de carrés est un nombre ... donc la somme est ... donc s'il y a un seul point critique c'est ...

Tu peux aussi utiliser l'exemple final pour voir ce que ça donne sur de vraies données.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonsoir,
La méthode proposés est appelée la méthode moindres carré.
Elle exprime que la valeur la plus probable dans les hypothèses proposées est celle qui minimise la somme des carrées des écarts entre la valeur définie par la fonction et la valeur observée.
Cette fonction S est minimum, généralement non nulle, pour la valeur qui annule sa dérivée.
Donc, il faut calculer la dérivée, écrire qu'elle est nulle et résoudre. On arrive à un système linéaire, dans le cas présent, de deux équations à 2 inconnues.
Ce type de raisonnement me rappelle un peu l'étude des extremum des surfaces.

[leon1789]

Bonjour

La méthode proposés est appelée la méthode moindres carré.

disons que la régression linéaire est un cas particulier de la méthode des moindres carrés.

Elle exprime que la valeur la plus probable dans les hypothèses proposées (...)

STOP ! Il n'y a pas de probabilité dans cet exercice.

(...) est celle qui minimise la somme des carrées des écarts entre la valeur définie par la fonction et la valeur observée.

définie par quelle fonction ?

Cette fonction S est minimum, généralement non nulle, pour la valeur qui annule sa dérivée.
Donc, il faut calculer la dérivée, écrire qu'elle est nulle et résoudre. On arrive à un système linéaire, dans le cas présent, de deux équations à 2 inconnues.
Ce type de raisonnement me rappelle un peu l'étude des extremum des surfaces.

Si tu veux exposer une méthode autre que celle donnée dans l'énoncé, alors ouvre une discussion (où tu pourras y mettre des probas si tu veux), mais là, tu fais encore une fois du HORS SUJET.
Ici, cela ne peut semer que le trouble si Isis-mirka essaie de te suivre dans ton histoire qui n'est pas celle de son exo.

[gg0]

Tout à fait d'accord avec Léon1789 !

En statistiques descriptives, cette méthode (ce qui est dit dans l'énoncé : "droite des moindres carrés de y en X) est la recherche d'une droite d'ajustement des moindres carrés de Y en X. car il y a une autre droite, celle de X en Y. Aucune des deux (car elles sont généralement distinctes) n'est "la meilleure".
En statistiques inférentielles, donc en utilisant des modélisations, on retombe sur le même genre de question quand on veut un modèle affine de liaison entre X et Y. mais la situation est différente, et il y a des présupposés forts.

Mais tout ça n'aide pas Isis Mirka. Qui ici, fait un exercice d'optimisation et d'étude de fonction à deux variables (a et b).

Cordialement.

[Isis-mirka]

Rebonjour, merci tout d'abord de m'avoir répondu . J'ai essay de suivre vos débats mais du coup, cette méthode qui consista a annuler les dérviées partielles ne peut pas etre utilisée ici ?
Et pour la question 3, je n'arrive pas à avancer je suis désolé car les diiférentes explications que vous donner dans cette discussion ne me sont pas claires: c'est un peu trop compliqué pour moi ...

[gg0]

Ben si !

les dérivées partielles te donnent un seul point critique. L'examen de la quantité à minimiser montre que c'est un minimum.

Je ne comprends pas quelle difficulté tu as avec la question 3 qui est un exemple, et particulièrement simple ! Applique ce que tu as trouvé auparavant à ces données (4 valeurs pour (xi;yi)).

L'idée de la droite d'ajustement est que si les points sont "en gros alignés", la droite suivra le nuage de points, le résumera, voire pourra servir de modèle pour des estimations ultérieures : Si on connaît une valeur de x, on prévoira ax+b comme valeur de y.

Cordialement.

NB : Si tu bloques, explique ce que tu as fait et où ça bloque.

[Isis-mirka]

Je comprend mieux grâce à vous trois, merci
Je vais donc essayer ( et réussir je pense !) de terminer cet exercice.
Merci à tous et bonne fin de journée.

[Isis-mirka]

Excusez-moi, j'ai été trop vite lorsque j'ai dit que j'avais compris, je me rend compte que ça bloque pour la question 3.
En fait, il faut tracer le nuage de points et faires les calculs pour 4 points donnés. Pou les 4 points, avec mes expressions de a et b de la question 2, je prend
x1=1 , x2=1.3 ...et y1=0.5 , y2=1.1....grace auxquels je peux calculer Sx, Sy ....et donc a et b (car ils sont exprimés en fonction de Sx, Sy...) ?
Et juste avant je dois tracer le nuage de points , mais je prend quelles valeurs ? Désolé de ne pas comprendre ce que vous mettez beaucoup de temps à m'expliquer..

[gg0]

Bonjour.

Tu as les coordonnées des 4 points (chaque couple de valeurs donne les coordonnées d'un point). Placer 4 points dans un repère n'est pas difficile. La droite non plus (d'équation y=ax+b).

Cordialement.

NB : Quand on note x et y et qu'on parle de points ...

[Isis-mirka]

Mais il y a deux étapes dans cette question. Je pensais faire comme ça au début (quand je pensais avoir compris!) . Donc, si je résume, je place mes 4 points dans un repère (xOy) mais pour la droite y=ax+b , je prend les valeurs pour a et b que je calcule a partir de Sx, Sy,....que je peux calculer en focntion des coordonnées des 4 points , c'est ça ?
merci d'avance

[Isis-mirka]

Ah mais non! j'ai compris ce que l'on me demandait. gg0 avait raison, c'est une application toute bête!
Merci a tous en tout cas.