Questions de compréhension - Chaines de Markov

[invite45ca6d89]

Bonjour à tous,

Je viens vous solliciter pour voir si j'ai bien compris différents éléments du cours sur les chaînes de Markov...
Il s'agit de mini exercices de compréhension (expliquer en français blabla)...

Enoncé Exercice 1

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On rappelle qu'un processus stochastique est à accroissement indépendants si et seulement si pour on a la variable indépendante de la variable
On donne une chaîne de Markov X_n
1) Justifier "en français" que pour être certain que les deux variables et sont indépendantes, il faut que t2 < t3-1
2) En déduire qu'une chaîne de Markov n'est pas forcément à accroissement indépendant

C'est le premier exercice et je ne sais pas comment démarrer...

1) Si on considère un indice n représentant le temps. Je sais que si Xn est une chaîne de Markov, alors l'état futur (n) ne dépendra du passé (0,1,...,n-1) qu'à travers le présent (n-1).
Maintenant...

2)....

Enoncé Exercice 2

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Rappel: On définit une suite Xn de variables aléatoires indépendantes prenant les valeurs -1 et +1 avec les probabilités 1/2 et 1/2. est appelée marche aléatoire. On a démontré que Sn est une chaîne de Markov.

On change les hypothèses de départ sur les variables Xn. La variable X1 prend ses valeurs avec les probabilités 1/2 et 1/2. Pour les autres variables Xn, les lois sont définies comme suit :


est appelée marche aléatoire conditionnelle.
1) Justifier "en français" que Sn n'est plus une chaîne de Markov.
2) On définit un nouveau processus stochastique à valeurs dans R² : S'n = (Sn,Xn). Justifier "en français" que le processus S'n est une chaîne de Markov.

1) Etant donné que la marche aléatoire Sn va dépendre de la première valeur X1, alors Sn n'est plus une chaîne de Markov..... :/
2)...


S'il est possible d'avoir des indications/explications pour ces questions sensées être simple... On pourrait croire que je ne fais pas d'efforts, mais là je ne vois vraiment pas, d'autant plus qu'il faut justifier ça "en français"... Merci d'avance :$
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[invite45ca6d89]

Je fais un petit up en complétant ma réponse

Pour l'exercice II
1) Etant donné que Sn va dépendre de X1, la seule information de l'état à n ne suffira pas pour pouvoir "estimer" le futur. En d'autres termes, la seule information de Sn ne suffit pas. Sn n'est donc pas une chaîne de Markov.

2) S'n = (Sn, Xn). Dans ce cas de figure, on complète Sn par l'information Xn qui est le dernier état dans lequel nous somme. Ainsi, (Sn,Xn) suffira pour définir l'état à n+1.

Cela suffit-il ?

Par contre pour l'exercice I...

Merci d'avance