les fonctions C1 par morceaux et Fourier

[invite4d695fd5]

Bonjour
voila, je bosse en ce moment le chapitre de spé sur les séries de Fourier donc je retombe dans les fonctions Ck par morceaux et des questions me sont venues :
- d'abord, une fonction CM sur un segment [a,b] est-elle nécessairement définie sur les points d'une subdivision adaptée ?
- Si non, un théorème de cours me donne la relation entre Cn(Df) et Cn(f) avec f continue et C1M(R) mais dans ce cas Df n'est pas nécessairement définie sur tout R ( abs(x) est dans ce cas)
- Si oui, cela veut dire qu'on peut définir des intégrale sur un intervalle d'une fonction non définie sur tout l'intervalle (ce qui me parait possible, on a vu les intégrale impropres, mais c'est une grosse généralisation d'écriture d'intégrales quand même car on admet qu'on peut "rassembler des intégrales impropres successives !!)

Voila merci de votre aide pour debrouiller mon cerveau un peu perdu quand il s'agit de jongler entre la continuité, CM et CkM dans les théorèmes !
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[gg0]

Bonjour.

En préambule : je ne connais pas le programme de prépa.

Sans avoir la lettre de ton cours, difficile de répondre. Car pour ce qu'on va faire, la valeur de la fonction en un point donné n'a pas d'utilité. Si on change cette valeur, ça ne change pas l'intégrale.
Mais généralement, on suppose bien que la fontion est partout définie.

Pour l'intégration, les fonction CM ne posent aucun problème, on intègre sur chaque intervalle ]a,b[ de continuité avec prolongement aux bornes par continuité, et on recolle. C'est tout à fait compatible avec toutes les intégrales classiques (Riemann, Stieljes, Henstock, lebesgue, ..) et on le considère comme transparent pour les calculs théoriques.

Cordialement.

[invite4d695fd5]

Déjà merci de ta réponse rapide !!
C'est bien ce que je supposais.
Mais alors on peut définir des coefficients complexes de Fourier à des fonctions Continues par morceaux non définies aux points de la subdivision ? Parceque le théorème que j'ai énonce le fait : pour f C1 par morceaux, Df est pas nécessairement définie aux points de la subdivision mais on se permet d'écrire Cn(Df).
Merci d'avance !

[invite4842e1dc]

Salut

Dans ce chapitre (les séries de Fourier) il y a un théorème important qui s'appelle le théorème de DIRICHLET
qui concerne les fonctions réelles continues par morceau ("cpm") et 2 Pi périodique

Ce théorème montre bien qu'on peut avoir des points de discontinuité où le fait d'avoir n'empêche pas la convergence simple de la série de Fourier


ps)
Juste pour info : Les conditions pour appliquer le théorème de DIRICHLET sont :
aux différents points de discontinuité la courbe admet une ½ tangente à gauche et une ½ tangente à droite ( ½ tangentes non verticales )

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Ce théorème montre bien qu'on peut avoir des points de discontinuité où le fait d'avoir n'empêche pas la convergence simple de la série de Fourier

Qui converge dans ce cas là vers , si je ne m'abuse. C'est important de le préciser.

@+