Démo projecteurs diagonalisable

[invite39ac77b7]

Bonjour,

Dans mon cour, je n'ai pas compris comment le professeur a trouvé le polynôme caractéristique des projecteurs et des symétries. J'ai dans mon cour:

" Tout projecteurs de E est diagonalisable ,
démonstration: si u est un endomorphisme de E avec u o u = u
u= p(Im u , ker u ) : E= Im u + ker u --->E
X= y + z |--->y
prévision: sp u ⊂ Rac K (X²-X)={0;1}

cas marginal 1 : u= 0
cas marginal 2 : u=id

----------------------> u est diagonalisable

cas général :
u ≠ 0
u≠ id

F et G sont non nuls
F= Im (u) = ker (u-id)= E ₁ (u)
G=E₀ (u) "=ker (u + 0 id) "????

d'où E=E ₁ (u) + E₀ (u) (somme directe) "



MAIS ker (u-id) c'est u(x)=x donc l’identité, on retrouverai u=id
et
G=E₀ (u) =ker (u + 0 id)=G ≠ ker (u + id) "???? on retrouverai u=0


or dans le cas général : u ≠ 0
et u ≠ id

quelqu'un peut m'expliquer svp ?
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[gg0]

Bonjour.

Expliquer quoi ? Où bloques-tu ?

[invite39ac77b7]

j'ai l'impression que le cas général donne exactement la même chose que les cas marginaux

[gg0]

Non !

Ne jamais se contenter d'une impression ! dans le cas général, Im(u) n'est ni E, ni réduit à 0.

Cordialement.

NB : Pourquoi avoir reposé la même question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39ac77b7]

je suis toujours pas convaincu,

( je ne repose pas la même question)